广西桂林市、崇左市、贺州市2020届高三理数模拟试卷

试卷更新日期：2020-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. $i$ 是虚数单位，复数 $z = 1 - i$ 在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知随机变量X服从正态分布 $N (1, 4)$ ， $P (X > 2) = 0.3$ ， $P (X < 0) =$ （）

A、 $0.2$ B、 $0.3$ C、 $0.7$ D、 $0.8$

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3. 已知集合 $A = {x | x < 1}$ ， $B = {x | e^{x} < 1}$ ，则（）

A、 $A \cap B = {x | x < 1}$ B、 $A \cup B = {x | x < e}$ C、 $A \cup B = {x | x < 1}$ D、 $A \cap B = {x | 0 < x < 1}$

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4. 已知a满足 $\sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\frac{π}{4} + α) \cos (\frac{π}{4} - α) =$ （）

A、 $\frac{7}{18}$ B、 $\frac{25}{18}$ C、 $- \frac{7}{18}$ D、 $- \frac{25}{18}$

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5. 设平面 $α$ 与平面 $β$ 相交于直线 $m$ ，直线 $a$ 在平面 $α$ 内，直线 $b$ 在平面 $β$ 内，且 $b ⊥ m$ 则“ $α ⊥ β$ ”是“ $a ⊥ b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、即不充分不必要条件

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6. 函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3}) (0 \leq x \leq \frac{5 π}{12})$ 的值域为（）

A、 $[- \frac{1}{2}, 1]$ B、 $[0, \frac{1}{2}]$ C、 $[0, 1]$ D、 $[- \frac{1}{2}, 0]$

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7. 在区间 $[- 1, 1]$ 上随机取一个数 $k$ ，使直线 $y = k (x + 3)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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8. 很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以 $3$ 再加 $1$ ；如果它是偶数，则将它除以 $2$ ；如此循环，最终都能够得到 $1$ .下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入 $n$ 的值为 $10$ ，则输出 $i$ 的值为（）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $7$ D、 $8$

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9. 设 $m = \ln 2$ ， $n = \lg 2$ ，则（）

A、 $m - n > m n > m + n$ B、 $m - n > m + n > m n$ C、 $m + n > m n > m - n$ D、 $m + n > m - n > m n$

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10. 过抛物线C：y²＝4x的焦点F ，且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l ，则M到直线NF的距离为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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11. 在一个数列中，如果 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2} = k$ （ $k$ 为常数），那么这个数列叫做等积数列， $k$ 叫做这个数列的公积.已知数列 ${a_{n}}$ 是等积数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，公积为 $8$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2020} =$ （）

A、 $4711$ B、 $4712$ C、 $4713$ D、 $4715$

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12. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = (2 m + 3) x + n$ ，若 $\forall x \in (0, + \infty)$ 总有 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立.记 $(2 m + 3) n$ 的最小值为 $F (m, n)$ ，则 $F (m, n)$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{e}$ C、 $\frac{1}{e^{2}}$ D、 $\frac{1}{e^{3}}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2, - 6)$ ， $\overset{⇀}{b} = (3, m)$ ，若 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$ ，则 $m =$ .

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14. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 $2400$ 人、高二 $2000$ 人、高三 $n$ 人中，抽取 $90$ 人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为 $36$ ，那么高三被抽取的人数为．

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15. 点 $P$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右支上，其左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，直线 $P F_{1}$ 与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段 $P F_{1}$ 的垂直平分线恰好过点 $F_{2}$ ，则该双曲线的渐近线的斜率为．

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16. 某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共9种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以2人一组或者3人一组.如果2人一组，则必须角色相同；如果3人一组，则3人角色相同或者3人为级别连续的3个不同角色.已知这13名学生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，现在新加入1名学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为.

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三、解答题

17. 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.

表中 $w_{i} = \frac{1}{x_{1}^{2}}$ ， $\bar{w} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} w_{i}$ .

附：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ ， $(u_{2} ， v_{2})$ ， $(u_{3} ， v_{3})$ ，…， $(u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (v_{i} - \bar{v}) (u_{i} - \bar{u})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

(1)、根据散点图判断， $y = a + b x$ 与 $y = c + \frac{d}{x^{2}}$ 哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）

(2)、根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)、若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？

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18. $△ A B C$ 中的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\sqrt{5} b = 4 c$ ， $B = 2 C$ .

(1)、求 $\cos B$ ；

(2)、若 $c = 5$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $B D = 6$ ，求 $△ A D C$ 的面积.

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19. 底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若 $D A = D H = D B = 4$ ， $A E = C G = 3$ .

(1)、求证： $E G ⊥ D F$ ；

(2)、求二面角 $A - H F - C$ 的正弦值.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ），与 $x$ 轴负半轴交于 $A (- 2, 0)$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 两点，连接 $A M$ ， $A N$ 并延长交直线 $x = 4$ 于 $E (x_{3}, y_{3})$ ， $F (x_{4}, y_{4})$ 两点，已知 $\frac{1}{y_{1}} + \frac{1}{y_{2}} = \frac{1}{y_{3}} + \frac{1}{y_{4}}$ ，求证：直线 $M N$ 恒过定点，并求出定点坐标.

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21. 设函数 $f (x) = \frac{1 + \ln (x + 1)}{x} (x > 0)$ .

(1)、若 $f (x) > \frac{k}{x + 1}$ 恒成立，求整数k的最大值；

(2)、求证： $(1 + 1 \times 2) \cdot (1 + 2 \times 3) \dots [1 + n \times (n + 1)] > e^{2 n - 3}$ .

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22. 已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{2} c o s θ ， \\ y = s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数）.以直角坐标系的原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ {sin}^{2} θ = 4 cos θ$ .

(1)、求 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若过点 $F (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $C_{2}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $\frac{| F A | | F B |}{| F M | | F N |}$ 的取值范围.

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23. 已知 $f (x) = | x - 1 | + 1$ ， $F (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \leq 3 \\ 12 - 3 x ， x > 3 \end{array}$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 2 x + 3$ ；

(2)、若方程 $F (x) = a$ 有三个解，求实数 $a$ 的取值范围.

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