广东省广州市2020届高三理数3月阶段训练（一模)卷

试卷更新日期：2020-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数Z满足 $(1 + i)$ $z =$ $2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知集合 $A = {0, 1, 2, 3}$ ， $B = {x | x = n^{2} - 1, n \in A}$ ， $P = A \cap B$ ，则P的子集共有（）

A、 $2$ 个 B、 $4$ 个 C、 $6$ 个 D、 $8$ 个

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3. $\sin 80^{°} \cos 50^{°} + \cos 140^{°} \sin 10^{°}$ $=$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in$ R， $x^{2} - x + 1 < 0$ ；命题 $q$ ： $\exists x \in$ R， $x^{2} > 2^{x}$ ，则下列命题中为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $\neg p \land q$ C、 $p \land \neg q$ D、 $\neg p \land \neg q$

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5. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ，当 $x \geq 1$ 时， $f (x) = x - \frac{2}{x}$ ，则 ${x | f (x + 2) > 1} =$ （）

A、 ${x | x < - 3$ 或 $x > 0}$ B、 ${x | x < 0$ 或 $x > 2}$ C、 ${x | x < - 2$ 或 $x > 0}$ D、 ${x | x < 2$ 或 $x > 4}$

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6. 如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点， $O B ⊥ O A$ ，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为 $P^{'}$ ，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将 $| \vec{O P} - \vec{O P^{'}} |$ 表示为x的函数 $f (x)$ ，则 $y = f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为 $1$ ，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）

A、 $(7 + 2 \sqrt{2}) π$ B、 $(10 + 2 \sqrt{2}) π$ C、 $(10 + 4 \sqrt{2}) π$ D、 $(11 + 4 \sqrt{2}) π$

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8. 某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（）

A、 $\frac{1 + e}{1 - e} r + \frac{2 e}{1 - e} R$ B、 $\frac{1 + e}{1 - e} r + \frac{e}{1 - e} R$ C、 $\frac{1 - e}{1 + e} r + \frac{2 e}{1 + e} R$ D、 $\frac{1 - e}{1 + e} r + \frac{e}{1 + e} R$

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9. 羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 和3名女生 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则 $A_{1}$ 和 $B_{1}$ 两人组成一队参加比赛的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{4}{9}$

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10. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ $(a > 0)$ 的两个焦点，过点 $F_{1}$ 且垂直于x轴的直线与 $C$ 相交于A，B两点，若 $| A B | = \sqrt{2}$ ，则△ $A B F_{2}$ 的内切圆的半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，记 $f_{1} (x) = f^{'} (x)$ ， $f_{2} (x) = f_{1}^{'} (x)$ ，…， $f_{n + 1} (x) = f_{n}^{'} (x)$ $(n \in$ N $^{*})$ . 若 $f (x) = x \sin x$ ，则 $f_{2019} (x) + f_{2021} (x) =$ （）

A、 $- 2 \cos x$ B、 $- 2 \sin x$ C、 $2 \cos x$ D、 $2 \sin x$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F，G分别是棱AD， $C C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，给出下列四个命题： ① $E F ⊥ B_{1} C$ ；② 直线 $F G$ 与直线 $A_{1} D$ 所成角为 $60^{°}$ ；③ 过E，F，G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；④ 三棱锥 $B - E F G$ 的体积为 $\frac{5}{6}$ .其中，正确命题的个数为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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二、填空题

13. 设向量 $\vec{a}$ $= (m, 1)$ ， $\vec{b}$ $= (2, 1)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ $\frac{1}{2} ({\vec{a}}^{2} + {\vec{b}}^{2})$ ，则 $m =$ .

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14. 某种产品的质量指标值 $Z$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，且 $P (μ - 3 σ < Z < μ + 3 σ)$ =0.9974．某用户购买了10000件这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间 $(μ - 3 σ, μ + 3 σ)$ 之外的产品件数为．

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15. ${(3 x^{2} - 2 x - 1)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是. (用数字填写答案)

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三、双空题

16. 已知△ $A B C$ 的三个内角为A，B，C，且 $\sin A$ ， $\sin B$ ， $\sin C$ 成等差数列，则 $\sin 2 B + 2 \cos B$ 的最小值为，最大值为.

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四、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $2 S_{n} - a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}}$ $(n \in$ N $^{*})$ .

(1)、求 $a_{n} + a_{n + 1}$ ；

(2)、令 $b_{n} = a_{n + 2} - a_{n}$ ，证明数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，并求其前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P C$ ， $A B = B C$ ， $∠ A P C = 120^{°}$ ， $∠ A B C = 90^{°}$ ， $A C = \sqrt{3} P B$ .

(1)、求证： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、求直线AC与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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19. 某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如下的频率分布直方图：

(1)、根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到 $0.01$ ）；

(2)、若从这80个零件中尺寸位于 $[62.5 ， 64.5)$ 之外的零件中随机抽取4个，设X表示尺寸在 $[64.5 ， 65]$ 上的零件个数，求X的分布列及数学期望EX；

(3)、已知尺寸在 $[63.0 ， 64.5)$ 上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率. 现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付 $500$ 元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.

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20. 已知函数 $f (x) = a \ln x - \frac{b e^{x}}{x}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $2 x - y - 2 -$ $e = 0$ .

(1)、求a，b的值；

(2)、证明函数 $f (x)$ 存在唯一的极大值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) < 2 \ln 2 - 2$ .

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21. 已知点 $P$ 是抛物线 $C : y = \frac{1}{4} x^{2} - 3$ 的顶点， $A$ ， $B$ 是 $C$ 上的两个动点，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = - 4$ .

(1)、判断点 $D (0, 1)$ 是否在直线AB上？说明理由；

(2)、设点M是△ $P A B$ 的外接圆的圆心，点M到x轴的距离为d，点 $N (1, 0)$ ，求 $| M N | - d$ 的最大值.

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22. 已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \cos α, \\ y = 1 + t \sin α, \end{array} (t$ 为参数 $)$ ，曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sin θ, \\ y = \sqrt{1 + \cos 2 θ}, \end{array} (θ$ 为参数).

(1)、求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的普通方程；

(2)、若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = \sqrt{2}$ ，求 $\sin α$ 的值.

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23. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ .

(1)、求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值；

(2)、证明： $\frac{a b + 2 b}{a^{2} + b^{2} + 1} < \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

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