广东省广州2020届普通高中毕业班理数综合测试（一)

试卷更新日期：2020-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | 0 < x < 1 ， x \in R} ， N = {x | | x | < 2 ， x \in R}$ ，则（）

A、 $M \cap N = M$ B、 $M \cap N = N$ C、 $M \cup N = M$ D、 $M \cup N = R$

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2. 若复数 $z$ 满足方程 $z^{2} + 2 = 0$ ，则 $z^{3} =$ （）

A、 $\pm 2 \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $- 2 \sqrt{2} i$ D、 $\pm 2 \sqrt{2} i$

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3. 若直线 $k x - y + 1 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ 有公共点，则实数k的取值范围是（）

A、 $[- 3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 3]$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， + \infty)$

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4. 已知 $p ： | x + 1 | > 2 ， q ： 2 < x < 3$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设函数 $f (x) = 2 \cos (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$ ，若对于任意的 $x \in R$ 都有 $f (x_{1}) \leq f (x) \leq f (x_{2})$ 成立，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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6. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为V，若 $P ， Q$ 分别在 $A A_{1} ， C C_{1}$ 上，且 $A P = \frac{1}{3} A A_{1} ， C Q = \frac{1}{3} C C_{1}$ ，则四棱锥 $B - A P Q C$ 的体积是（）

A、 $\frac{1}{6} V$ B、 $\frac{2}{9} V$ C、 $\frac{1}{3} V$ D、 $\frac{7}{9} V$

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7. 为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）

A、 $\frac{5}{14}$ B、 $\frac{9}{14}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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8. 已知直线 $l ： y = x - 2$ 与 $x$ 轴的交点为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 的焦点，直线l与抛物线C交于 $A ， B$ 两点，则AB中点到抛物线准线的距离为（）

A、8 B、6 C、5 D、4

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9. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = \frac{1}{3} ， a_{2} + a_{5} = 4$ ，若 $S_{n} \geq 4 a_{n} + 8 (n \in N^{*})$ ，则n的最小值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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10. 已知点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是曲线 $C ： y = x^{3} - x^{2} + 1$ 上的点，曲线C在点P处的切线与 $y = 8 x - 11$ 平行，则（）

A、 $x_{0} = 2$ B、 $x_{0} = - \frac{4}{3}$ C、 $x_{0} = 2$ 或 $x_{0} = - \frac{4}{3}$ D、 $x_{0} = - 2$ 或 $x_{0} = \frac{4}{3}$

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11. 已知O为坐标原点，设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点P是双曲线 $C$ 上位于第一象限上的点，过点 $F_{2}$ 作 $∠ F_{1} P F_{2}$ 角平分线的垂线，垂足为A，若 $b = | F_{1} F_{2} | - 2 | O A |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} - x + 1 ， x < 0 \\ x^{2} - x + 1 ， x \geq 0 \end{matrix}$ ，若 $F (x) = f (x) - s i n (2020 π x) - 1$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上有 $m$ 个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， \dots ， x_{m}$ ，则 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + f (x_{3}) + \dots + f (x_{m}) =$ （）

A、4042 B、4041 C、4040 D、4039

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二、双空题

13. 如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为，表面积为．

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三、填空题

14. 在 $(a x + \frac{1}{x}) {(x^{2} - 1)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为15，则实数 $a =$ ．

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15. 已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若向量 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 与 $2 \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{5 π}{6}$ ，则实数 $k$ 的取值为．

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16. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $\frac{a_{n} + a_{n + 1}}{n} = c o s \frac{n π}{2} - s i n \frac{n π}{2} (n \in N^{*})$ ，且 $m + S_{2019} = - 1009 ， a_{1} m > 0$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{9}{m}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $c = \sqrt{3}$ ，且满足 $\frac{a b s i n C}{a s i n A + b s i n B - c s i n C} = \sqrt{3}$

(1)、求角C的大小；

(2)、求 $b + 2 a$ 的最大值．

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18. 随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；

平均每月进行训练的天数x

$x \leq 5$

$5 < x < 20$

$x \geq 20$

人数

15

60

25

(1)、以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；

(2)、依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个， $Y$ 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求 $Y$ 的分布列及数学期望 $E (Y)$

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19. 如图1，在边长为2的等边 $△ A B C$ 中， $D ， E$ 分别为边 $A C ， A B$ 的中点，将∆AED沿ED折起，使得 $A B ⊥ A D$ ， $A C ⊥ A E$ ，得到如图2的四棱锥A-BCDE，连结 $B D ， C E$ ，且BD与CE交于点H．

(1)、求证： $A H ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、求二面角 $B - A E - D$ 的余弦值．

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20. 已知 $⊙ M$ 过点 $A (\sqrt{3 ，} 0)$ ，且与 $⊙ N ： {(x + \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 16$ 内切，设 $⊙ M$ 的圆心M的轨迹为C，

(1)、求轨迹C的方程；

(2)、设直线 $l$ 不经过点 $B (2 ， 0)$ 且与曲线 $C$ 交于点 $P ， Q$ 两点，若直线 $P B$ 与直线 $Q B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，判断直线 $l$ 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 4) e^{x - 3} + x^{2} - 6 x ， g (x) = (a - \frac{1}{3}) x - 1 - l n x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调区间；

(2)、用 $m a x {m ， n}$ 表示 $m ， n$ 中的最大值， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，设函数 $h (x) = m a x {f^{'} (x) ， g (x)}$ ，若 $h (x) \geq 0$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： $\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{3 n - 1} + \frac{1}{3 n} > \ln 3 (n \in N^{*})$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 1 + 2 t \end{matrix}$ ，( $t$ 为参数)，曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{\sqrt{3}}{c o s θ} \\ y = \sqrt{3} t a n θ \end{matrix}$ ，( $θ$ 为参数，且 $θ \in (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2})$ )．

(1)、求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的普通方程，

(2)、若 $A ， B$ 分别为 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 上的动点，求 $| A B |$ 的最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 3 x - 6 | + | x + a |$ ，

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) < 3$ ；

(2)、若不等式 $f (x) < 11 - 4 x$ 对任意 $x \in [- 4 ， - \frac{3}{2}]$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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平均每月进行训练的天数x	$x \leq 5$	$5 < x < 20$	$x \geq 20$
人数	15	60	25