河南省南阳市镇平县2020年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2020-05-28 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 如果分式 $\frac{3}{x - 1}$ 有意义，那么x的取值范围是（）

A、全体实数 B、 $x \neq 1$ C、 $x = 1$ D、 $x > 1$

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2. 计算： ${(π - 2017)}^{0} - 2 \sin 30 ° + 3^{- 1}$ 等于（）

A、0 B、1 C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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3. 在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的4个小球，这4个小球的材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于9的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. 如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（）

A、北偏东30° B、北偏东80° C、北偏西30° D、北偏西50°

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5. 已知反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ ，下列结论不正确的是（）

A、图象必经过点(-1，2) B、y随x的增大而增大 C、图象在第二、四象限内 D、若x＞1，则y＞-2

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6. 已知a，b为两个连续的整数，且 $a < \sqrt{5} < b$ ，则 $b^{a} =$ （）

A、1 B、2 C、6 D、9

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7. 下列关于统计与概率的知识说法正确的是（）

A、武大靖在2018年平昌冬奥会短道速滑500米项目上获得金牌是必然事件 B、检测100只灯泡的质量情况适宜采用抽样调查 C、了解北京市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查 D、甲组数据的方差是0.16，乙组数据的方差是0.24，说明甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数

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8. 抛物线y=–x²+bx+c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示：

x

…

–2

–1

0

1

2

…

y

…

0

4

6

6

4

…

从上表可知，下列说法错误的是（）

A、抛物线与x轴的一个交点坐标为(–2，0) B、抛物线与y轴的交点坐标为(0，6) C、抛物线的对称轴是直线x=0 D、抛物线在对称轴左侧部分是上升的

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9. 体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是 $x$ 米秒，则所列方程正确的是（）

A、 $40 \times 1.25 x - 40 x = 800$ B、 $\frac{800}{x} - \frac{800}{2.25 x} = 40$ C、 $\frac{800}{x} - \frac{800}{1.25 x} = 40$ D、 $\frac{800}{1.25 x} - \frac{800}{x} = 40$

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10. 如图，点P是▱ABCD边上的一动点，E是AD的中点，点P沿E→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{25} \div \sqrt{5} =$ .

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12. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点 A、B在同一水平面上)
为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为a，则AB两地之间的距离为米.

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13. 如图，l₁反映了某公司产品的销售收人与销售量的关系，l₂ 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断：当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量必须

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14. 若抛物线y＝(a－3)x²－2有最低点，那么a的取值范围是.

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15. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到 $△ A B^{'} E .$ . 若B'恰好落在射线CD上，则BE的长为

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三、解答题

16. 先化简，再求值：(a＋1－ $\frac{4 a - 5}{a - 1}$ )÷( $\frac{1}{a} - \frac{1}{a^{2} - a}$ )，其中a＝2＋ $\sqrt{3}$ .

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17. 体育老师为了解本校九年级女生1分钟“仰卧起坐”体育测试项目的达标情况，从该校九年级136名女生中，随机抽取了20名女生，进行了1分钟仰卧起坐测试，获得数据如下：

收集数据：抽取20名女生的1分钟仰卧起坐测试成绩(个)如下：

38 46 42 52 55 43 59 46 25 38

35 45 51 48 57 49 47 53 58 49

(1)、整理、描述数据：请你按如下分组整理、描述样本数据，把下列表格补充完整：

范围	$25 \leq x \leq 29$	$30 \leq x \leq 34$	$35 \leq x \leq 39$	$40 \leq x \leq 44$	$45 \leq x \leq 49$	$50 \leq x \leq 54$	$55 < x \leq 59$
人数

(说明：每分钟仰卧起坐个数达到49个及以上时在中考体育测试中可以得到满分)

(2)、分析数据：样本数据的平均数、中位数、满分率如下表所示：

平均数	中位数	满分率
46.8	47.5	$45 %$

得出结论：①估计该校九年级女生在中考体育测试中1分钟“仰卧起坐”项目可以得到满分的人数；

②该中心所在区县的九年级女生的1分钟“仰卧起坐”总体测试成绩如下：

平均数	中位数	满分率
45.3	49	$51.2 %$

请你结合该校样本测试成绩和该区县总体测试成绩，为该校九年级女生的1分钟“仰卧起坐”达标情况做一下评估.

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18. 反比例函数y₁= $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象与一次函数y₂=﹣x+b的图象交于A，B两点，其中A（1，2）

(1)、求这两个函数解析式；

(2)、在y轴上求作一点P，使PA+PB的值最小，并直接写出此时点P的坐标.

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19. 某地一人行天桥如图所示，天桥高6 m，坡面BC的坡比为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡比，使新坡面AC的坡比为1∶ $\sqrt{3}$ ．

(1)、求新坡面的坡角α；

(2)、原天桥底部正前方8 m处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除．请说明理由．

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20. 设k是任意实数，讨论二次函数 $y = x^{2} - 1$ 与直线 $y = 2 x + k$ 的交点个数.

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21. 将一矩形纸片ABCD折叠，使顶点A与C重合，折痕为EF .

(1)、求证： $C E = C F$ ；

(2)、若 $A B = 8$ ， $B C = 16$ ，求 $D E$ 的长.

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22. 如图

(1)、问题发现如图1，在 $△ O A B$ 和 $△ O C D$ 中， $O A = O B$ ， $O C = O D$ ， $∠ A O B = ∠ C O D = 40 °$ ，连接 $A C ， B D$ 交于点 $M$ .填空：① $\frac{A C}{B D}$ 的值为；② $∠ A M B$ 的度数为.

(2)、类比探究如图2，在 $△ O A B$ 和 $△ O C D$ 中， $∠ A O B = ∠ C O D = 90 °$ ， $∠ O A B = ∠ O C D = 30 °$ ，连接 $A C$ 交 $B D$ 的延长线于点 $M$ .请判断 $\frac{A C}{B D}$ 的值及 $∠ A M B$ 的度数，并说明理由；

(3)、拓展延伸在（2）的条件下，将 $△ O C D$ 绕点 $O$ 在平面内旋转， $A C ， B D$ 所在直线交于点 $M$ ，若 $O D = 1$ ， $O B = \sqrt{3}$ ，请直接写出当点 $A$ 与点 $O 、 D$ 在同一条直线上时 $A D$ 的长.

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23. 如图，在平面直角坐标系中抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过原点，且与直线 $y = - k x + 6$ 交于则 $A (6 ， 3)$ 、 $B (- 4 ， 8)$ 两点.

(1)、求直线和抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 在抛物线上，解决下列问题：
①在直线 $A B$ 下方的抛物线上求点 $P$ ，使得 $△ P A B$ 的面积等于20；

②连接 $O A ， O B ， O P$ ，作 $P C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，若 $△ P O C$ 和 $△ A B O$ 相似，请直接写出点 $P$ 的坐标.

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x	…	–2	–1	0	1	2	…
y	…	0	4	6	6	4	…