浙江省温州市环大罗山联盟2018-2019学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-05-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，集合 $A = {1 ， 3 ， 5}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup B =$ （）

A、 ${0 ， 6}$ B、 ${2 ， 3 ， 4 ， 6}$ C、 ${2 ， 4}$ D、 ${0 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6}$

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2. 满足“对定义域内任意实数，都有 $f (x \cdot y) = f (x) + f (y)$ ”的函数可以是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = 2^{x}$ C、 $f (x) = \log_{2} x$ D、 $f (x) = e^{\ln x}$

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3. 一个物体的运动方程为 $s = 1 - t + t^{2}$ ，其中 $s$ 的单位是米， $t$ 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）

A、5米/秒 B、6米/秒 C、7米/秒 D、8米/秒

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4. 下面结论正确是（）

A、综合法是直接证明，分析法是间接证明 B、在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程 C、反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾 D、用反证法证明结论“ $a > b$ ”时，应假设“ $a < b$ ”

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5. 已知 $x \in (e^{- 1}, 1)$ ， $a = \ln x$ ， $b = {(\frac{1}{2})}^{\ln x}$ ， $c = e^{\ln x}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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6. 以图中的8个点为顶点的三角形的个数是（）

A、56个 B、48个 C、45个 D、42个

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7. 函数 $y = \frac{\sin x}{2^{\cos x}}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若 ${(x + a)}^{2} {(\frac{1}{x} - 1)}^{5}$ 的展开式中常数项为-1，则a的值为（）

A、1 B、9 C、-1或-9 D、1或9

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9. 已知函数f(x)=x³+px²+qx与x轴切于x₀ $(x_{0} \neq 0)$ 点，且极小值为-4，则p+q=（）

A、12 B、13 C、15 D、16

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \lg x | ， 0 < x \leq 10 \\ - \frac{1}{2} x + 6 ， x > 10 \end{array}$ ，若函数 $y = f^{2} (x) - 2 b f (x) + b - \frac{2}{9}$ 有6个零点，则b的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{9} ， \frac{1}{3}) \cup (\frac{2}{3} ， \frac{7}{9})$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{3}) \cup (\frac{2}{3} ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{1}{3}) \cup (\frac{2}{3} ， 1)$ D、 $(\frac{2}{9} ， \frac{7}{9})$

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二、双空题

11. 设 $a \in R$ ，若复数 $z = \frac{a + i}{1 + i}$ （i为虚数单位）的实部和虚部相等，则 $a =$ ， $| \bar{z} | =$ .

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x (x > 0) \\ x^{2} + 2 x (x \leq 0) \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{2})) =$ ，方程 $f (x) = 3$ 的解为.

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13. 函数 $y = x + 2 \cos x$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值是；最小值是.

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14. 设函数 $f (x) = m x^{2} - m x - 1$ ．

(1)、若对于一切实数 $x$ ， $f (x) < 0$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是，

(2)、若对于 $x \in [1 ， 3]$ ， $f (x) < - m + 5$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是．

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三、填空题

15. 设函数 $y = \frac{2 x^{2} - \sin x + 2}{x^{2} + 1}$ 的最大值和最小值分别为M和m，则 $M + m =$ .

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16. 凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x₁ ， x₂ ， …，x_n ，有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ ≤f( $\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}$ )，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为．

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17. 若对于任意 $x \in [- 1 ， 1]$ ，存在 $b \in R$ ，使得 $| a x^{3} + b x | \leq 1$ 成立，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

18. 已知 $a > 0$ 且满足不等式 $2^{2 a + 1} > 2^{5 a - 2}$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围.

(2)、求不等式 $\log_{a} (3 x - 1) < \log_{a} (7 - 5 x)$ .

(3)、若函数 $y = \log_{a} (2 x - 1)$ 在区间 $[1, 3]$ 有最小值为 $- 2$ ，求实数 $a$ 值.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 在 $x = - \frac{2}{3}$ 与 $x = 1$ 时都取得极值．

(1)、求 $a, b$ 的值与函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对 $x \in [- 1, 2]$ ,不等式 $f (x) < c^{2}$ 恒成立，求 $c$ 的取值范围．

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20. 已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n＝ $\frac{a_{n}}{2}$ ＋ $\frac{1}{a_{n}}$ －1，且a_n>0，n∈N^*.

(1)、求a₁ ， a₂ ， a₃ ，并猜想{a_n}的通项公式；

(2)、证明（1）中的猜想.

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21. 定义在 $D$ 上的函数 $f (x)$ ，如果满足：对任意 $x \in D$ ，存在常数 $M > 0$ ，都有 $| f (x) | \leq M$ 成立，则称 $f (x)$ 是 $D$ 上的有界函数，其中 $M$ 称为函数 $f (x)$ 的上界，已知函数 $f (x) = \frac{1}{9^{x}} + a \frac{1}{3^{x}} + 1$ .

(1)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上的值域，并判断函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上是否为有界函数，请说明理由；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上是以4为上界的有界函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{x - a}{\ln x}$ ， $F (x) = \sqrt{x}$ ．
（Ⅰ）当 $a = 0$ 时，比较 $f (2 e + 1)$ 与 $f (3 e)$ 的大小；

（Ⅱ）若存在实数 $a$ ，使函数 $f (x)$ 的图象总在函数 $F (x)$ 的图象的上方，求 $a$ 的取值集合．

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