浙江省宁波市慈溪市六校2018-2019学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-05-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，则 $z = \frac{i}{1 - 2 i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）

A、144 B、120 C、72 D、24

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3. 若 $C_{20}^{2 x - 1} = C_{20}^{x + 3}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、4 B、4或5 C、6 D、4或6

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4. 设 $f (x) = x^{2} - 2 x - 4 \ln x$ ，则 $f (x)$ 的递减区间为（）．

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(- \infty, - 1)$ ， $(2, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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5. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）

A、324 B、328 C、360 D、648

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6. 用反证法证明“已知 $x ， y \in R ， x^{2} + y^{2} = 0$ ，求证： $x = y = 0$ .”时，应假设（）

A、 $x \neq y \neq 0$ B、 $x = y \neq 0$ C、 $x \neq 0$ 且 $y \neq 0$ D、 $x \neq 0$ 或 $y \neq 0$

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7. 将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）．

A、420 B、180 C、64 D、25

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8. 已知 $f (x) = a ln x + \frac{1}{2} x^{2} (a > 0)$ ，若对任意两个不等的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ 恒成立，则a的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $[1, + \infty)$

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9. 如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有 $n$ 个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将 $n$ 个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为 $p (n)$ ，则 $p (4) =$ （）

A、33 B、31 C、17 D、15

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10. 定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ ，当 $x \in (1, + \infty)$ 时， $f (x) + f' (x) < x f' (x)$ 恒成立， $a = f (2), b = \frac{1}{2} f (3), c = (\sqrt{2} + 1) f (\sqrt{2})$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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二、双空题

11. 在如图所示的

7 \times 4

的方格纸上（每个小方格均为正方形），共有个矩形、个正方形．

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12. 若复数 $z = \frac{1 - i}{1 + i} - 2 i$ （i是虚数单位），则z的虚部为， $| z | =$ .

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13. 实数 $a_{i} (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5)$ 满足：对任意 $x \in R$ ，都有 ${(1 + x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{0} =$ ， $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5} =$ ．

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14. 已知函数 $y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + a x - 5$ ．若函数在 $(- \infty ， + \infty)$ 上是单调函数，则实数 $a$ 的取值范围是；若函数在 $[1 ， + \infty)$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、填空题

15. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ 的导函数为 $f^{'} (x) =$ ．

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16. 用数学归纳法证明“ $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^{n} - 1} < n (n \in N^{*}, n > 1)$ ”时，由 $n = k (k > 1)$ 不等式成立，推证 $n = k + 1$ 时，则不等式左边增加的项数共项

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17. 将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个国家馆至少分配一名志愿者且其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有种．

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x - 2$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， 8)$ 处的切线方程；

（Ⅱ）直线 $l$ 为曲线 $y = f (x)$ 的切线，且经过原点，求直线 $l$ 的方程及切点坐标.

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19. 在 ${(x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中所有的有理项；

(3)、求展开式中系数最大的项.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} e^{- x}$ .
(I)求f(x)的极小值和极大值；

(II)当曲线y = f(x)的切线 $l$ 的斜率为负数时，求 $l$ 在x轴上截距的取值范围.

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21. 在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）

(1)、三名女生互不相邻，有多少种不同的站法？

(2)、四名男生相邻有多少种不同的排法？

(3)、女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？

(4)、甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）

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22. 已知函数 $f (x)$ = $\frac{1}{2} a x^{2} + (1 - 2 a) x - 2 \ln x$ ， $a \in R$ ；

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若不等式 $f (x)$ ≥ $\frac{3}{2}$ 在(0，1)上恒成立，求实数a的取值范围.

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