浙江省湖州市2018-2019学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-05-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = \sqrt{2 x - 3} + \frac{1}{x - 3}$ 的定义域为（）

A、[ $\frac{3}{2}$ ，3）∪（3，+∞） B、（-∞，3）∪（3，+∞） C、[ $\frac{3}{2}$ ，+∞） D、（3，+∞）

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2. 设复数z满足 $(1 - i) z = 2 i$ ，则z= （）

A、-1+i B、-1-i C、1+i D、1-i

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3. 甲、乙、丙、丁四人站成一排，则甲、乙相邻的排法种数是（）

A、4 B、6 C、12 D、24

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x > 0 \\ \cos x ， x \leq 0 \end{array}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是增函数 C、 $f (x)$ 是周期函数 D、 $f (x)$ 的值域为 $[-1 ， + \infty)$

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5. 曲线 $y = x e^{x - 1}$ 在点（1，1）处切线的斜率等于（）.

A、 $2 e$ B、 $e$ C、2 D、1

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6. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数， $f (1) = 5$ 且 $f (x + 4) = - f (x)$ ，则 $f (2012) + f (2019)$ 的值为（）

A、 $- 5$ B、2 C、0 D、5

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7. 若 ${(a x^{2} - 1)}^{5}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为 $- 40$ ，则a的值为（）

A、 $- 1$ B、2 C、 $- 2$ D、±2

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8. 函数 $y = f (x)$ 的图象如图①所示，则图②对应的解析式可以表示为（）

A、 $y = f (| x |)$ B、 $y = | f (x) |$ C、 $y = f (- | x |)$ D、 $y = - f (| x |)$

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9. 设奇函数 $f (x)$ ， $(x \in R)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) + f (x) > 0$ ，则使得 $f (x) > 0$ 成立的x的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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10. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} + b x + c (b ， c \in R)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(2，3)$ 上有两个零点，则 $2 b + c$ 的取值范围为（）

A、 $(- 4 ， - 3)$ B、 $(- 4 ， 3)$ C、 $[- 4，3)$ D、 $(- 4， - 3]$

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二、双空题

11. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $A = {1 ， 2}$ ， $B = {4 ， 5}$ 则 $A \cup B =$ ， $(∁_{U} A) \cap B =$ ．

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12. 已知复数 $z = (1 + i) (1 + 2 i)$ ，其中i是虚数单位，则Z的模是， Z的共轭复数为．

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13. 计算： $C_{8}^{3} - A_{5}^{2} =$ ， $3^{1 + \log_{3} 2} - \log_{2} e \cdot \ln 2 =$ ．

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14. 若 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则 $n =$ ，展开式中的常数项为．

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三、填空题

15. 把5个不同的小球放到4个不同的盒子中，保证每个盒子都不空，不同的放法有种.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， (x < 0) \\ x^{2} - 2 x + 1 ， (x \geq 0) \end{array}$ ，则函数 $g (x) = f (f (x)) - \frac{1}{2}$ 的零点个数为．

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17. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = | x + \frac{16}{x} - a | + a$ 在区间 $[2，5]$ 上的最大值为10，则a的取值范围是．

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四、解答题

18. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：

(1)、如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？

(2)、如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？

(3)、如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？

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19. 设函数 $f (x) = \ln x - a x^{2} + b x (a ， b \in R)$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线为 $y = 0$ ．
（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的极值．

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20. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) - f (x) = 2 x - 1$ ， $f (0) = - 3$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的表达式；

（Ⅱ）设 $g (x) = k x + 1$ ，若 $F (x) = \log_{0.5} [g (x) - f (x)]$ 在区间 $[2，3]$ 上单调递增，求实数k的取值范围．

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21. 设函数 $f (x) = x - \ln (x + 1)$ ．
（Ⅰ）求证： $x \geq \ln (x + 1)$ ；

（Ⅱ）若 $a > b > 0$ ，求证： $e^{a + b} - 1 > \ln (a + 1) + \ln (b + 1)$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x - a$ ， $g (x) = a | x - 1 |$ ， $a \in R$ ．
（Ⅰ）若 $a = 1$ ，求满足 $g (x) + g (x - 1) > 1$ 的实数x的取值范围；

（Ⅱ）设 $h (x) = f (x) + g (x)$ ，若存在 $x_{1} ， x_{2} \in [- 2 ， 2]$ ，使得 $| h (x_{1}) - h (x_{2}) | \geq 6$ 成立，试求实数a的取值范围．

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