江西省赣州市五校协作体2018-2019学年高二下学期理数期中联考试卷

试卷更新日期：2020-05-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = \sqrt{2} i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z |$ 等于（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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2. 已知命题 $p$ ：方程 ${ax}^{2} + {by}^{2} = 1$ 表示双曲线；命题 $q$ ： $b < 0 < a$ .命题 $p$ 是命题 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知命题p：存在 $x_{0} < 0$ ， ${(\frac{1}{2})}^{x_{0}} \leq 1$ ，命题q：对任意x∈R， $x^{2} － x ＋ 1 \geq 0$ ，下列命题为真命题的是（）

A、¬ q B、p且q C、p或(¬ q) D、(¬ p)且q

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4. 已知平面α内有一点M（1，-1，2），平面α的一个法向量 $\vec{m}$ =（2，-1，2），则下列点P在平面α内的是（）

A、 $(- 4,$ 4, $0)$ B、 $(2,$ 0, $1)$ C、 $(2,$ 3, $3)$ D、 $(3, - 3, 4)$

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5. 4种不同产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品，则不同排列方法的种数是 $($ $)$

A、12 B、10 C、8 D、6

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6. 直线 $y = 4 x$ 与曲线 $y = x^{3}$ 在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、4 D、 $2$

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7. 函数 $y = \frac{1}{x} - \ln (x + 1)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} a x^{2} + 6 a x + b$ 的两个极值点分别为 $x_{1}, x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ $，$ 且 $x_{2} = \frac{3}{2} x_{1}$ ，则函数 $f (x_{1}) - f (x_{2}) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{6}$ C、1 D、与b有关

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9. 已知动圆 $C$ 经过点 $A (2, 0)$ ，且截 $y$ 轴所得的弦长为4，则圆心 $C$ 的轨迹是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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10. 数学归纳法证明 $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{n + n} > \frac{1}{2} (n > 1, n \in N^{*})$ ，过程中由 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 时，左边增加的代数式为（）

A、 $\frac{1}{2 k + 2}$ B、 $\frac{1}{2 k + 1}$ C、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2}$ D、 $\frac{1}{2k + 1} － \frac{1}{2k + 2}$

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11. 如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有 $n (n > 1 ， n \in N^{*})$ 个点，相应的图案中总的点数记为 $a_{n}$ ，则 $\frac{9}{a_{2} a_{3}} + \frac{9}{a_{3} a_{4}} + \frac{9}{a_{4} a_{5}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{9}{a_{2018} a_{2019}}$ 等于（）

A、 $\frac{2015}{2016}$ B、 $\frac{2016}{2017}$ C、 $\frac{2017}{2018}$ D、 $\frac{2018}{2019}$

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12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点 $F$ 重合，抛物线的准线与双曲线交于 $A, B$ 两点，且 $ΔOAB$ 的面积为 $6$ （ $O$ 为原点），则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{32} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 x^{2}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1, f (- 1))$ 处的切线方程为．

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14. 某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天.甲说：“你们的成绩都没有我高 $.$ ”乙说：“我的成绩一定比丙高 $.$ ”丙说：“你们的成绩都比我高 $.$ ”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第名 $.$

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15. 设F是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ － $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C上存在点P ，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．

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16. 已知函数f (x)及其导数f ′(x)，若存在x₀ ，使得f (x₀)＝f ′(x₀)，则称x₀是f (x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是．
①f(x)＝x²；②f(x)＝e^－x；③f(x)＝lnx；④f(x)＝tanx；⑤ $f (x) = \frac{1}{x}$ .

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三、解答题

17.

(1)、设 $a \geq b > 0$ ，用综合法证明： $a^{3} + b^{3} \geq a^{2} b + {ab}^{2}$ ；

(2)、用分析法证明： $\sqrt{6} + \sqrt{7} > 2 \sqrt{2} + \sqrt{5}$ .

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18. 如图，在边长为4的正方形 $ABCD$ 中，点 $E ， F$ 分别是 $AB ， BC$ 的中点，点 $M$ 在 $AD$ 上，且 $A M = \frac{1}{4} A D$ ，将 $△ AED ， △ DCF$ 分别沿 $DE ， DF$ 折叠，使 $A ， C$ 点重合于点 $P$ ，如图所示 $2$ .

(1)、试判断 $PB$ 与平面 $MEF$ 的位置关系，并给出证明；

(2)、求二面角 $M - EF - D$ 的余弦值.

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19. 已知函数f（x）=x²（x-1）．

(1)、求函数f（x）的单调区间；

(2)、求f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．

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20. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 px (p > 0)$ 过点 $M (4, - 4 \sqrt{2}) .$

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设F为抛物线C的焦点，直线l： $y = 2 x - 8$ 与抛物线C交于A，B两点，求 $△ FAB$ 的面积．

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21. 已知椭圆C过点 $A (2 \sqrt{6} ， 2)$ ，两个焦点 $(- 2 \sqrt{6} ， 0) ， (2 \sqrt{6} ， 0)$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - x \ln x$ 在 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围.

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