浙江省浙南名校联盟2018-2019学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-05-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， A = {y | y = | x | ， x \in U}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$ C、 ${- 1 ， - 2}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 若向量 $\vec{b}$ 与向量 $\vec{a} = (2 ， - 1)$ 是共线向量，且 $| \vec{b} | = 3 \sqrt{5}$ ，则 $\overset{⇀}{b} =$ （）

A、 $(6 ， - 3)$ B、 $(- 6 ， 3)$ C、 $(6 ， - 3)$ 或 $(- 6 ， 3)$ D、 $(3 ， - 6)$ 或 $(- 3 ， 6)$

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3. 若 $\sin (\frac{π}{6} - α) = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos (\frac{π}{3} + α)$ 等于（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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4. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x + 4) = - f (x)$ ，当 $x \in (0 ， 2)$ 时， $f (x) = x^{2} + 1$ ，则 $f (7) =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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5. 函数 $f (x) = e^{x} \cdot \ln | x |$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 可导函数 $f (x)$ 在区间 $(a ， b)$ 上的图象连续不断，则“存在 $x_{0} \in (a ， b)$ 满足 $f' (x_{0}) = 0$ ”是“函数 $f (x)$ 在区间 $(a ， b)$ 上有最小值”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 从数字1到9中任取3个数字，要求既有奇数也有偶数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数共有（）

A、420 B、840 C、140 D、70

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8. 设向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b} ， \overset{⇀}{c}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 1 ， | \overset{⇀}{b} | = 2$ ， $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = 0 ， \overset{⇀}{c} \cdot (\overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{c}) = 0$ ，则 $| \overset{⇀}{c} |$ 的最大值等于（）

A、1 B、2 C、 $1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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9. 设 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点，过点 $P (- 2 ， 0)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A ， B$ 两点，点 $Q$ 为线段 $A B$ 的中点，若 $| F Q | = 4 \sqrt{7}$ ，则 $| A B | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $7 \sqrt{2}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = - \log_{2} (\sqrt{x^{2} + 1} + x) - 3 x$ ，当 $x + y = 2019$ 时，恒有 $f (x) + f (2019) > f (y)$ 成立，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、双空题

11. 已知复数 $z$ 满足 $z = \frac{1 - i}{i}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z^{2} =$ ； $| z | =$ ．

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12. 计算： $\log_{4} \sqrt{2} =$ ；满足 $\log_{x} \sqrt{2} > 1$ 的实数 $x$ 的取值范围是．

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13. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ， $A_{1} ， A_{2}$ 分别是双曲线的左、右顶点， $M (x_{0} ， y_{0})$ 是双曲线上除两顶点外的一点，直线 $M A_{1}$ 与直线 $M A_{2}$ 的斜率之积是 $\frac{16}{9}$ ，则双曲线的离心率为；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，则双曲线的方程为．

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14. 二项式 ${(1 - 2 x)}^{5}$ 的展开式中系数最大的项为；已知 ${(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{1} - 2 a_{2} + 3 a_{3} - 4 a_{4} + 5 a_{5} =$ ．

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三、填空题

15. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2 ， 4)$ ，向量 $\overset{⇀}{a}$ 在向量 $\overset{⇀}{b}$ 上的投影为3，且 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | = 3 \sqrt{3}$ ，则 $| \overset{⇀}{b} | =$ ．

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16. 3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是．（用数字作答）

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17. 已知不等式 $(e - a) e^{x} + x + b + 1 \leq 0$ 恒成立，其中 $e$ 为自然常数，则 $\frac{b + 1}{a}$ 的最大值为．

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四、解答题

18. 设函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x - 2 \cos^{2} ω x + 1$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称，其中常数 $ω \in (\frac{1}{2} ， 1)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{3 π}{5}]$ 上的取值范围．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ A B C = 60 °$ ，侧面 $P A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $∠ B A P = 90 ° ， A B = A C = P A = 2$ ．

(1)、求证：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若点 $M$ 为 $P D$ 中点，求直线 $M C$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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20. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{4}{x} - x ， 0 < x \leq 2 \\ - x^{2} + (a + 2) x - 2 a ， x > 2 \end{array}$ ，其中 $a$ 为实数．

(1)、若函数 $f (x)$ 为定义域上的单调函数，求 $a$ 的取值范围．

(2)、若 $a < 7$ ，满足不等式 $f (x) - a > 0$ 成立的正整数解有且仅有一个，求 $a$ 的取值范围．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (0 ， 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过 $A$ 作斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ 的两条直线，分别交椭圆于点 $M ， N$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 2$ ，证明：直线 $M N$ 过定点．

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22. 设函数 $f (x) = (a x^{2} - x) \ln x + a - 1 ， a \in R$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求证： $f (x) \leq x$ ；

(2)、当 $x \in [\frac{1}{2} ， + \infty)$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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