浙江省温州新力量联盟2018-2019学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-05-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ （ $i$ 是虚数单位）．则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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2. 函数 $y = (2 m - 1) x + b$ 在 $R$ 上是减函数．则（　　）

A、 $m > \frac{1}{2}$ B、 $m < \frac{1}{2}$ C、 $m > - \frac{1}{2}$ D、 $m < - \frac{1}{2}$

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3. 下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = lg x$ C、 $y = x^{3} + x$ D、 $y = cos x$

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4. 已知集合 $A = {- 2, 0, 1, 9, π}$ ， $B = N$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1, 9}$ B、 ${1, 9}$ C、 ${- 2, 0, 1, 9}$ D、 ${0, 1, 9, π}$

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5. 设 $f （ x ） = ln x + x - 2$ ，则函数 $f (x)$ 的零点所在的区间为（　　）

A、（0，1） B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x - 1}, x > 0 \\ x + 3, x \leq 0 \end{matrix}$ ，若 $f (a) + f (1) = 0$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 1$ 或 $2$ C、 $1$ D、 $- 3$ 或 $1$

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7. 已知函数 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则下列描述正确的是（）

A、 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 是函数 $y = g (x)$ 的一个对称中心 B、 $x = \frac{5 π}{12}$ 是函数 $y = g (x)$ 的一条对称轴 C、 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 是函数 $y = g (x)$ 的一个对称中心 D、 $x = \frac{π}{2}$ 是函数 $y = g (x)$ 的一条对称轴

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8. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积= $\frac{1}{2}$ （弦×矢+矢²），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，半径等于 $4$ 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（） $(\sqrt{3} \approx 1.73)$

A、 $6$ 平方米 B、 $9$ 平方米 C、 $12$ 平方米 D、 $15$ 平方米

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9. 如图，函数 $f （ x ） = A sin （ ω x + φ ）$ （其中 $A > 0 ， ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2}$ ）与坐标轴的三个交点 $P 、 Q 、 R$ 满足 $P (2 ， 0) ， ∠ P Q R = \frac{π}{4} ， M$ 为 $Q R$ 的中点， $P M = 2 \sqrt{5}$ ，则 $A$ 的值为（）

A、 $\frac{16}{3} \sqrt{3}$ B、 $\frac{8}{3} \sqrt{3}$ C、 $8$ D、 $16$

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10. 已知集合 $M = {(x, y) | y = f (x)}$ ，若对于任意 $(x_{1}, y_{1}) \in M$ ，存在 $(x_{2}, y_{2}) \in M$ ，使得 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ 成立，则称集合 $M$ 是“理想集合”.给出下列4个集合：
① $M = {(x, y) | y = \frac{1}{x}}$ ；② $M = {(x, y) | y = \sin x}$ ；③ $M = {(x, y) | y = e^{x} - 2}$ ；④ $M = {(x, y) | y = \lg x}$ .其中所有“理想集合”的序号是（）

A、①③ B、②③ C、②④ D、③④

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二、双空题

11. $\sin 30 ° =$ ， $\cos \frac{11 π}{4} =$ ．

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12. 已知向量 $\vec{a} = (2, 6), \vec{b} = (m, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ,则 $m =$ ;若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ,则 $m =$ ．

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13. 已知 $f （ x ） = x^{2} - 3 x - 1$ ，则 $（ f （ 2 ））^{'} =$ ， $f^{'} （ 1 ） =$ ．

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14. 在边长等于1的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 和 $F$ 分别是 $C D$ 和 $B C$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A E} • \overset{⇀}{A F} =$ ，若 $\overset{⇀}{A C} = λ \overset{⇀}{A E} + μ \overset{⇀}{A F}$ ，其中 $λ ， μ \in R$ ，则 $λ + μ =$ ．

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三、填空题

15. 已知函数 $y = \sqrt{2^{x} - a}$ 定义域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 设 $2^{a} = 5^{b} = m$ ,且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ,则 $m =$ .

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17. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若 $\forall x \in D, \exists y \in D$ ，使得 $f (y) = - f (x)$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为“美丽函数”.下列所给出的五个函数：
① $y = x^{2}$ ；② $y = \frac{1}{x - 1}$ ；③ $f (x) = \ln (2 x + 3)$ ；④ $y = 2^{x} - 2^{- x}$ ；⑤ $y = 2 \sin x - 1$ ．

其中是“美丽函数”的序号有．

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四、解答题

18. 已知函数 $f （ x ） = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 2$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的极值点：

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $x \in [- 2 ， 2]$ 的最大值和最小值．

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19. 已知 $f （ x ） = 2 \sqrt{3} sin x cos x + {2cos}^{2} x - 1 ．$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期：

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的单调递增区间

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20. 已知 $| \vec{a} | = 4, | \vec{b} | = 3, (2 \vec{a} - 3 \vec{b}) • (2 \vec{a} + \vec{b}) = 61$

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、若 $| \vec{a} | + | λ \vec{b} | \geq | \vec{a} + 2 \vec{b} |$ ，求实数 $λ$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f （ x ） = x^{2} - 3 | x |$ ．

(1)、对任意 $x \in R ， f （ x ） - m \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围：

(2)、函数 $g (x) = k x - k$ ，设函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ ，若函数 $y = F (x)$ 有且只有两个零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = ln x + \frac{1}{2} a x^{2} - (a + 1) x ， (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，判断函数 $y = f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f （ x ） = \frac{1}{2} a x^{2}$ 有两个不同实根 $x_{1} ， x_{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围，并证明 $x_{1} • x_{2} > e^{2}$ ．

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