浙江省台州市联谊五校2018-2019学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-05-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 0 < x \leq 2} ， B = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则集合 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 在平面直角坐标系中，不等式组 ${\begin{matrix} x - 2 y + 4 \geq 0 \\ x \leq 2 \\ x + y - 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，表示的平面区域的面积是（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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3. 设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，m是直线且m $\subset$ $α$ ． "m $∥ β$ "是" $α$ $∥$ $β$ "的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 曲线 $y = x^{3} + 3$ 在点 $(- 1 ， 2)$ 处的切线方程为（）

A、 $3 x + y + 3 = 0$ B、 $3 x - y + 3 = 0$ C、 $3 x - y = 0$ D、 $3 x - y + 5 = 0$

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5. 已知椭圆的长轴长是短轴长的 $\sqrt{2}$ 倍，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 函数 $f (x) = x^{2} +ln | x |$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $Δ A B C$ 中， $\tan A + \tan B + \sqrt{3} = \sqrt{3} \tan A \tan B$ 且 $\sin B \cos B = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则 $Δ A B C$ 是（）

A、正三角形 B、直角三角形 C、正三角形或直角三角形 D、直角三角形或等腰三角形

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8. 直线 $y = x + m$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $M, N$ 两点，若 $| M N | \geq 2 \sqrt{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2, 2]$ B、 $[- 4, 4]$ C、 $[0, 2]$ D、（-2 $\sqrt{2}$ ， -2）∪[2，2 $\sqrt{2}$ )

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9. 若两个正实数 $x ， y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1$ ，且存在这样的 $x ， y$ 使不等式 $x + \frac{y}{4} < m^{2} + 3 m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 4)$ B、 $(- 4 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 4) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup (0 ， + \infty)$

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10. 如图所示， $P A$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面， $A B$ 是圆 $O$ 的直径， $P A = A B = 2$ ， $C$ 是圆 $O$ 上的一点， $E 、 F$ 分别是点 $A$ 在 $P B$ ， $P C$ 上的投影，当三棱锥 $P - A E F$ 的体积最大时， $P C$ 与底面 $A B C$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、双空题

11. 函数 $\vec{a}$ 的定义域为；值域为．

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12. 已知直线 $l$ ： $x + m y - 5 = 0$ ，若 $l$ 的倾斜角为 $45^{\circ}$ ，则实数 $m =$ ；若直线 $l$ 与直线 $x - 2 y - 1 = 0$ 垂直，则实数 $m =$ ．

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13.

(1)、 $2 \lg 2 + \lg 25 =$

(2)、 $27^{\frac{2}{3}} + {(\frac{1}{4})}^{\log_{2} \sqrt{3}} - \log_{8} \frac{1}{4} =$

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14. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm³）等于，表面积（单位：cm²）等于．

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三、填空题

15. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 满足 $\overset{⇀}{b} \cdot (\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) = 3$ ，且 $| \overset{⇀}{a} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 2$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | =$ ．

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16. 如图，平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{5} ， A D = 2 \sqrt{2} ， C D = \sqrt{3}$ ， $∠ B C D = 120^{\circ}$ ， $∠ C B D = 30^{\circ} ，$ 则 $Δ A D C$ 的面积 $S$ 为．

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17. 当 $x \in [\frac{3}{2}, 4]$ 时，不等式 $| a x^{2} + b x + 4 a | \leq 2 x$ 恒成立，则 $6 a + b$ 的最大值是．

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四、解答题

18. 如图，以 $O x$ 为始边作角 $α$ 与 $β$ $(0 < β < α < π)$ ，它们的终边分别与单位圆相交于点 $P$ 、 $Q$ ，已知点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ .

(1)、求 $\frac{3 \cos α + 5 \sin α}{\sin α - \cos α}$ 的值

(2)、若 $OP ⊥ OQ$ ，求 $3 \sin β - 4 \cos β$ 的值

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19. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，且 $a_{2}, a_{3}, a_{4} - 1$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} - 4 = \log_{2} a_{n}^{2}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a \ln x$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、若 $g (x) = f (x) + \frac{2}{x}$ 在 $[1, + \infty)$ 上是单调函数，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $E$ 在 $l$ 上，且 $Δ P E F$ 是边长为 $8$ 的正三角形．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(1 ， 0)$ 的直线 $n$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，若 $\overset{⇀}{F A} \cdot \overset{⇀}{F B} = - 23$ ，求 $Δ F A B$ 的面积．

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22. 已知函数 $f_{1} (x) = e^{| x - a |}, f_{2} (x) = e^{b x} .$

(1)、若 $f (x) = f_{1} (x) + f_{2} (x) + b f_{2} (- x)$ ，是否存在 $a 、 b \in R$ ，使得 $y = f (x)$ 为偶函数，如果存在，请举例并证明，如果不存在，请说明理由；

(2)、若 $a = 2, b = 1$ ，判断 $g (x) = f_{1} (x) + f_{2} (x)$ 在 $(- \infty, 1)$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、已知 $b \in [0, \ln 2)$ ，存在 $x_{0} \in [0, 1]$ ，对任意 $x \in [0, 1]$ ，都有 $| f_{1} (x) - f_{2} (x_{0}) | < 1$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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