浙江省天台县2020年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2020-05-12 类型：中考模拟

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一、单选题

1. -8的倒数是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $- \frac{1}{8}$ C、8 D、-8

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $2 a - a = 1$ B、 $6 a^{2} b \div 2 a b = 3 a$ C、 ${(- 2 a^{2} b)}^{3} = - 6 a^{6} b^{3}$ D、 $6 a b^{2} \cdot 2 a b = 12 a^{2} b^{2}$

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3. 如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷95次都是正面朝上，则抛掷第100次正面朝上的概率是（）

A、小于 $\frac{1}{2}$ B、等于 $\frac{1}{2}$ C、大于 $\frac{1}{2}$ D、无法确定

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5. 二次函数 $y = x^{2} - 2 x$ 的顶点坐标是（）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(1 ， - 1)$ C、 $(- 1 ， - 1)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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6. 关于x的一元一次不等式3x>6的解都能满足下列哪一个不等式的解（）

A、4x-9＜x B、-3x+2＜0 C、2x+4＜0 D、 $\frac{1}{2} x < 2$

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7. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D ，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）

A、100° B、105° C、110° D、120

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8. 如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为60°， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 都是格点，则 $\tan ∠ A B C =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 如图， $⊙ O$ 的半径为2，圆心 $O$ 在坐标原点，正方形 $A B C D$ 的边长为2，点 $A$ 、 $B$ 在第二象限，点 $C$ 、 $D$ 在 $⊙ O$ 上，且点 $D$ 的坐标为（0，2）.现将正方形 $A B C D$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转150°，点 $B$ 运动到了 $⊙ O$ 上点 $B_{1}$ 处，点 $A$ 、 $D$ 分别运动到了点 $A_{1}$ 、 $D_{1}$ 处，即得到正方形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ $D_{1}$ （点 $C_{1}$ 与 $C$ 重合）；再将正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 绕点 $B_{1}$ 按逆时针方向旋转150°，点 $A_{1}$ 运动到了 $⊙ O$ 上点 $A_{2}$ 处，点 $D_{1}$ 、 $C_{1}$ 分别运动到了点 $D_{2}$ 、 $C_{2}$ 处，即得到正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ （点 $B_{2}$ 与 $B_{1}$ 重合），……，按上述方法旋转2020次后，点 $A_{2020}$ 的坐标为（）

A、（0，2） B、 $(- \sqrt{3} ， 1)$ C、 $(- 1 - \sqrt{3} ， - 1 - \sqrt{3})$ D、 $(2 + \sqrt{3} ， - 1)$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $E$ 是线段 $A C$ 上一点， $A E ∶ C E = 1 ∶ 2$ ，过点 $C$ 作 $C D ∥ A B$ 交 $B E$ 的延长线于点 $D$ ，若 $△ A B E$ 的面积等于4，则 $△ B C D$ 的面积等于（）

A、8 B、16 C、24 D、32

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二、解答题

11. 计算： $2 \sin 60 ° + {(2020 - π)}^{0} - \sqrt{12}$ .

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12. 解方程： $\frac{1}{2 x - 1}$ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{4 x - 2}$ ．

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13. 如图，在4×4的格点图中， $△ A B C$ 为格点三角形，即顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均在格点上，利用无刻度直尺按要求完成下列各题，并保留作图痕迹：

(1)、在边 $A B$ 上找一点 $E$ ，使 $∠ B C E = 45 °$ （请在图①中完成）；

(2)、在边 $A C$ 上找一点 $D$ ，使 $\frac{A D}{D C} = \frac{1}{2}$ （请在图②中完成）.

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14. 某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项.现随机抽查了部分学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图.
抽取的学生最喜欢体育活动的条形统计图

抽取的学生最喜欢体育活动的扇形统计图

请结合以上信息解答下列问题：

(1)、在这次调查中一共抽查了学生，扇形统计图中“乒乓球”所对应的圆心角为度，并请补全条形统计图；

(2)、已知该校共有1200名学生，请你估计该校最喜爱跑步的学生人数；

(3)、若在“排球、足球、跑步、乒乓球”四个活动项目任选两项设立课外兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“排球、乒乓球”这两项活动的概率.

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15. 已知：如图，在矩形 $A B C D$ 中，若 $C D = 5$ ，以 $D$ 为圆心， $D C$ 长为半径作 $⊙ D$ 交 $C A$ 的延长线于 $E$ ，过 $D$ 作 $D F ⊥ A C$ ，垂足为 $F$ ，且 $D F =$ $3$ .

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ D$ 的切线；

(2)、求 $A E$ 的长.

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16. 在平面直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ 为反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 上的两个动点，以 $A$ ， $B$ 为顶点构造菱形 $A B C D$ .

(1)、如图1，点 $A$ ， $B$ 横坐标分别为1，4，对角线 $B D ∥ x$ 轴，菱形 $A B C D$ 面积为 $\frac{45}{4}$ .求 $k$ 的值.

(2)、如图2，当点 $A$ ， $B$ 运动至某一时刻，点 $C$ ，点 $D$ 恰好落在 $x$ 轴和 $y$ 轴正半轴上，此时 $∠ A B C = 90 °$ .求点 $A$ ， $B$ 的坐标.

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17. 如图1，抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 过点 $A (4 ， - 1)$ ， $B (0 ， - \frac{11}{3})$ ，点 $C$ 为直线 $A B$ 下方抛物线上一动点， $M$ 为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线 $A B$ 交于点 $N$ .

(1)、求抛物线的表达式与顶点 $M$ 的坐标；

(2)、在直线 $A B$ 上是否存在点 $D$ ，使得 $C$ ， $D$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出 $D$ 点坐标；

(3)、在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使 $∠ A Q M = 45 °$ ？若存在，求点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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18. 某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图1、图2、图3中， $A F$ 、 $B E$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A F ⊥ B E$ 于点 $P$ ，像 $△ A B C$ 这样的三角形均称为“中垂三角形”.

(1)、（特例探究）
如图1，当 $∠ P A B = 45 °$ ， $A B = 6 \sqrt{2}$ 时， $A C =$ ， $B C =$ ；

如图2，当 $\sin ∠ P A B = \frac{1}{2}$ ， $A B = 4$ 时， $A C =$ ， $B C =$ ；

(2)、（归纳证明）
请你观察（1）中的计算结果，猜想 $A B^{2}$ 、 $B C^{2}$ 、 $A C^{2}$ 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论；

(3)、（拓展证明）
如图4，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ $B C$ 的中点，连结 $D E$ 并延长至 $G$ ，使得 $G E = D E$ ，连结 $B G$ ，当 $B G ⊥ A C$ 于点 $M$ 时，求 $G F$ 的长.

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三、填空题

19. $\sqrt{16}$ 的算术平方根是， $\sqrt{5}$ ﹣2的相反数是　， $\sqrt[3]{- 8}$ 的绝对值是．

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20. 因式分解： $a^{2} b - 4 a b + 4 b =$ .

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21. 如图，已知等边 $△ A B C$ 的边长为8，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 与边 $A C$ 、 $B C$ 分别交于 $D$ 、 $E$ 两点，则劣弧 $\overset{⌢}{D E}$ 的长为.

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22. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：今有共买物，人出十二，盈八；人出十，不足六，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出12钱，会多8钱；每人出10钱，又会差6钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为 $x$ 人，物价为 $y$ 钱，根据题意可列出方程组.

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23. 为运用数据处理道路拥堵问题，现用流量

q

（辆／小时）、速度

v

（千米／小时）、密度

k

（辆／千米）来描述车流的基本特征.现测得某路段流量

q

与速度

v

之间关系的部分数据如下表：

速度 $v$ （千米／小时）	……	15	20	32	40	45	……
流量 $q$ （辆／小时）	……	1050	1200	1152	800	450	……

若已知 $q$ 、 $v$ 满足形如 $q = m v^{2} + n v$ （ $m$ 、 $n$ 为常数）的二次函数关系式，且 $q$ 、 $v$ 、 $k$ 满足 $q = v k$ .根据监控平台显示，当 $5 \leq v \leq 10$ 时，道路出现轻度拥堵，试求此时密度 $k$ 的取值范围是.

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24. 在滑草过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线.如图，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ …在反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ …在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 1 ， x > 0)$ 的图象上， $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} ∥ \cdot \cdot \cdot ∥ y$ 轴，已知点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ …的横坐标分别为1，2…，令四边形 $A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}$ 、 $A_{2} B_{2}$ $B_{3} A_{3}$ 、…的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、…，

(1)、用含 $k$ 的代数式表示 $S_{1} =$ ；

(2)、若 $S_{19} = 39$ ，则 $k =$ .

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