广东省汕头市2018-2019学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2020-05-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， m}$ ， $B = {3 ， 4}$ ．若 $A \cap B = {3}$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $2$ B、 $1$ C、 $4$ D、 $3$

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2. 在复平面内，复数z $= \frac{2 - i}{i}$ 对应的点位于（）

A、第二象限 B、第一象限 C、第四象限 D、第三象限

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， x)$ ．若 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 平行，则实数 $x$ 的值是（）

A、 $4$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $- 4$

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{9} + a_{12} = 15$ ， $S_{20} =$ （）

A、 $120$ B、 $150$ C、 $180$ D、 $200$

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5. 函数y＝a^|x|(0<a<1)的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6. “ $\sin 2 α - \sqrt{3} \cos 2 α = 1$ ”是“ $α = \frac{π}{4}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 我市某公司，第一年产值增长率为 $p$ ，第二年产值增长率 $q$ ，这二年的平均增长率为 $x$ ，那 $x$ 与 $\frac{p + q}{2} (p \neq q)$ 大小关系是（）

A、 $x < \frac{p + q}{2}$ B、 $x = \frac{p + q}{2}$ C、 $x > \frac{p + q}{2}$ D、与 $p ， q$ 取值有关

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8. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）

A、12 $\sqrt{3}$ B、36 $\sqrt{3}$ C、27 $\sqrt{3}$ D、6

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9. 《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{8}{15}$ C、 $\frac{16}{31}$ D、 $\frac{16}{29}$

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10. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ 的两个焦点， $P$ 是双曲线上的一点，且 $3 | P F_{1} | = 4 | P F_{2} |$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积等于（）

A、4 $\sqrt{2}$ B、8 $\sqrt{3}$ C、24 D、48

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11. 已知点 $P (x ， y)$ 的坐标满足条件 ${\begin{array}{l} x + y \leq 4 \\ y \geq x \\ x \geq 1 \end{array}$ ，点 $O$ 为坐标原点，那么 $| O P |$ 的最大值等于（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $4$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ，则其在 $[- 2 ， 1]$ 上的最小值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $- 4$ D、 $- 3$

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二、填空题

13. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $c = 1$ ， $A = 60^{\circ}$ ， $C = 45^{\circ}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为．

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14. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $c = 4 \sqrt{2}$ ， $B = 45^{\circ}$ ，面积 $S = 2$ ，则 $a =$ ； $b =$ ．

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15. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球体的表面积为

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16. 定义在R上的可导函数 $f (x)$ ，当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $(x - 1) f^{'} (x) - f (x) > 0$ 恒成立， $a = f (2)$ ， $b = \frac{1}{2} f (3) ， c = (\sqrt{2} + 1) f (\sqrt{2})$ ，则a，b，c的大小关系为

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三、解答题

17. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，且 $2 S_{3} = 5 S_{1} + 3 S_{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ， $c_{n} = \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的值．

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18. 某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$

(1)、求y关于t的线性回归方程；

(2)、利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ，点 $E$ 在线段 $A D$ 上，且 $C E ∥ A B$ .

（Ⅰ）求证： $C E ⊥$ 平面 $P A D$ ；

（Ⅱ）若 $P A = A B = 1$ ， $A D = 3$ ， $C D = \sqrt{2}$ ， $∠ C D A = 45 °$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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20. 第16届亚运会在中国广州进行，为了搞好接待工作，组委会招幕了

16

名男志愿者和

14

名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有

10

人和

6

人喜爱运动，其余人不喜爱运动．

(1)、根据以上数据完成以下

2 \times 2

列联表：

	喜爱运动	不喜爱运动	总计
男	$10$		$16$
女	$6$		$14$
总计			$30$

(2)、根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过

0.10

的前提下认为性别与喜爱运动有关？

附：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.10$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k_{0}$	$2.706$	$3.841$	$6.625$	$10.828$

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

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21. 已知，椭圆 $C$ 过点 $A (1 ， \frac{3}{2})$ ，两个焦点为 $(- 1 ， 0) ， (1 ， 0)$ .
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ） $E ， F$ 是椭圆 $C$ 上的两个动点，如果直线 $A E$ 的斜率与 $A F$ 的斜率互为相反数，证明直线 $E F$ 的斜率为定值，并求出这个定值．

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22. 已知曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，直线 $l$ ： ${\begin{cases} x = 2 + t ， \\ y = 2 - 2 t ， \end{cases}$ （ $t$ 为参数）.
（I）写出曲线 $C$ 的参数方程，直线 $l$ 的普通方程；

（II）过曲线 $C$ 上任意一点 $P$ 作与 $l$ 夹角为 $30 °$ 的直线，交 $l$ 于点 $A$ ， $| P A |$ 的最大值与最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) + x^{2} - 4 > 0$ 的解集；

(2)、设 $g (x) = - | x + 7 | + 3 m$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < g (x)$ 的解集非空，求实数 $m$ 的取值范围．

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