广东省揭阳市揭东区2018-2019学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2020-05-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = i (2 - i)$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $z$ 的模 $| z |$ = （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、5

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2. 下列求导数运算正确的是（）

A、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ B、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} \ln 3$ C、 ${(x \ln x)}^{'} = \ln x - 1$ D、 ${(\sin \frac{x}{3})}^{'} = \cos \frac{x}{3}$

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3. 复数 $\frac{i}{1 + i} - \frac{1}{2 i}$ 的实部与虚部的和为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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4. 已知数列{a_n}中，a₁＝1，n≥2时，a_n＝a_n_－1＋2n－1，依次计算a₂ ， a₃ ， a₄后，猜想a_n的表达式是（）

A、a_n＝3n－1 B、a_n＝4n－3 C、a_n＝n² D、a_n＝3ⁿ^－1

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5. 复平面内表示复数 $z = (m^{2} - 8 m + 15) + (m^{2} - 5 m - 14) i$ 的点位于直线 $y = x$ 上，则m的值为（）

A、3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{29}{3}$ D、 $\frac{29}{13}$

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6. 下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（）
①2019不能被2整除；②一切奇数都不能被2整除；③2019是奇数．

A、①②③ B、②①③ C、②③① D、③②①

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7. 已知函数 $f (x) = \sqrt[3]{x} + 1$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 - Δ x) - f (1)}{Δ x}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 0

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8. 已知 $y = f (x)$ 的图象如图所示，则 $f^{'} (x_{A})$ 与 $f^{'} (x_{B})$ 的大小关系是（）

A、 $f^{'} (x_{A}) > f^{'} (x_{B})$ B、 $f^{'} (x_{A}) = f^{'} (x_{B})$ C、 $f^{'} (x_{A}) < f^{'} (x_{B})$ D、 $f^{'} (x_{A})$ 与 $f^{'} (x_{B})$ 大小不能确定

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9. 《论语•学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）

A、一次三段论 B、复合三段论 C、不是三段论 D、某个部分是三段论

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10. 如图，由曲线 $y = e^{x} - 2$ ，直线 $x = 0 ， x = 2$ 和 $x$ 轴围成的封闭图形的面积是（）

A、 $\int_{0}^{2} (e^{x} - 2) d x$ B、 $| \int_{0}^{2} (e^{x} - 2) d x |$ C、 $\int_{0}^{2} | e^{x} - 2 | d x$ D、 $\int_{0}^{ln 2} (e^{x} - 2) d x + \int_{ln 2}^{2} (e^{x} - 2) d x$

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11. 小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”．已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一名．根据以上信息可以判断出得第一名的人是（）

A、小明 B、小马 C、小红 D、小方

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12. 若 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ， $0 < a < b < e$ ，则有（）

A、 $f (a) > f (b)$ B、 $f (a) = f (b)$ C、 $f (a) < f (b)$ D、 $f (a) f (b) > 1$

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二、填空题

13. 已知 $i$ 为虚数单位，在复平面内复数 $\frac{2 i}{1 + i}$ 对应点的坐标为.

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14. 曲线 $y = x^{3} - 2 x + m$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率等于．

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15. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.使用反证法证明时，假设应为“假设三角形的”．

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16. 已知： $\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} ， \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{1}{2 n (n + 1)} - \frac{1}{2 (n + 1) (n + 2)}$ .由以上两式，可以类比得到： $\frac{1}{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} =$ .

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三、解答题

17. 用反证法证明 $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}$ 不可能成等差数列.

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18. 已知复数 $z = \frac{4 a^{2} - 3 a - 1}{a + 3} + (a^{2} + 2 a - 3) i (a \in R)$ .

(1)、若 $z = \bar{z}$ ，求 $a$ ；

(2)、 $a$ 取什么值时， $z$ 是纯虚数.

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19. 定义在R上的函数 $f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + a$ ，已知 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上有最小值3.

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的最大值.

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20. 计算下列定积分.

(1)、 $\int_{2}^{e + 1} \frac{1}{x - 1} d x$ ；

(2)、 $\int_{- 4}^{3} | x + 2 | d x$ .

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21. 已知数列 $\frac{1}{1 \times 3} ， \frac{1}{3 \times 5} ， \frac{1}{5 \times 7} ， \frac{1}{7 \times 9} ， \dots ， \frac{1}{（ 2 n - 1 ） \times (2 n + 1)} ，$ 计算 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3} ，$ 由此推测出 $S_{n}$ 的计算公式，并用数学归纳法证明.

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22. 已和函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 1 ， x \in R$ .

(1)、求函数图象经过点 $(\frac{3}{2} ， 1)$ 的切线的方程：

(2)、求函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 1$ 的图象与直线 $y = 1$ 所围成的封闭图形的面积.

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