广东省深圳市四校发展联盟体2018-2019学年高二下学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2020-05-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{1 - 2i}{2 + i}$ = （）

A、 $i$ B、 $1 + i$ C、 $- i$ D、 $1 - i$

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2. 命题“ $\forall x \in R, 2^{x} > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \notin R, 2^{x} \leq 0$ B、 $\forall x \in R, 2^{x} \leq 0$ C、 $\exists x_{0} \in R, 2^{x_{0}} > 0$ D、 $\exists x_{0} \in R, 2^{x_{0}} \leq 0$

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3. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其数量之比依次是3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么n等于（）

A、50 B、60 C、70 D、80

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4. 函数y= $\frac{1}{2}$ x² $-$ ㏑x的单调递减区间为（）

A、（ $-$ 1，1] B、（0，1] C、[1，+∞） D、（0，+∞）

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5. 如图所示，若该程序输出结果为 $\frac{7}{8}$ ，则判断框内应填入的条件是（）

A、 $i < 5$ B、 $i < 6$ C、 $i < 7$ D、 $i < 8$

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6.
重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下：

则这组数据的中位数是（）

A、19 B、20 C、21.5 D、23

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7. 采用随机抽样法抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如下表
分组
（10，20]
（20，30]
（30，40]
（40，50]
（50，60]
（60，70]
频数
2
3
x
5
y
2
已知样本数据在（20，40]的频率为0.35，则样本数据在区间（50，60]上的频率为（　　）

A、0.70 B、0.50 C、0.25 D、0.20

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8. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a= $\sqrt{5}$ ，c=2，cosA= $\frac{2}{3}$ ，则b=（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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9. 已知等差数列{a_n}前9项的和为27，a₁₀=8，则a₁₀₀=（）

A、100 B、99 C、98 D、97

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10. 设 $x ， y$ 为正数，则 $(x + y) (\frac{1}{x} + \frac{4}{y})$ 的最小值是（）

A、8 B、9 C、12 D、15

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11. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右顶点分别是 $A, B$ ，左，右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，若 $| A F_{1} |, | F_{1} F_{2} |, | F_{1} B |$ 成等比数列，则此椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{5} - 2$

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12. 在R上定义运算 $\otimes : x \otimes y=x (1 - y)$ ，若对任意 $x > 2$ ，不等式 $(x - a) \otimes x \leq a + 2$ 都成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 7]$ B、 $[- 1, 7]$ C、 $(- \infty, 3]$ D、 $(- \infty, - 1] \cup [7, + \infty)$

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二、填空题

13. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 ， \\ x + y - 3 \geq 0 ， \\ x - 3 \leq 0 ， \end{matrix}$ 则z=x−2y的最小值为.

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14. 下面给出了解决问题的算法：
$S_{1}$ 输入 $x$

$S_{2}$ 若 $x \leq 1$ 则执行 $S_{3}$ ，否则执行 $S_{4}$

$S_{3}$ 使 $y = 2 x - 3$

$S_{4}$ 使 $y = x^{2} - 3 x + 3$

$S_{5}$ 输出 $y$

当输入的值为时，输入值与输出值相等。

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15. 为了判断高中三年级学生是否选择文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下 $2 \times 2$ 列联表：

理科

文科

男

13

10

女

7

20

已知 $P (K^{2} \geq 3.841) \approx 0.05$ ， $P (K^{2} \geq 5.024) \approx 0.025$ ．

根据表中数据，得到 $K^{2}$ 的观测值 $k = \frac{50 \times {(13 \times 20 - 10 \times 7)}^{2}}{23 \times 27 \times 20 \times 30} \approx 4.844$ ，则有以上把握认为选择文科与性别有关系．

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16. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{2} = 3, a_{4} = 7$ ；数列 ${b_{n}}$ 是公比为 $q (q> 0)$ 的等比数列， $b_{1} = 1$ ， $b_{3} = 4$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 已知 $Δ ABC$ 的三个内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $A$ 是锐角，且 $\sqrt{3} b = 2 asinB$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b + c = 13$ ， $Δ ABC$ 的面积为 $10 \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值．

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19. 为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如表所示：

组别	候车时间	人数
一	$[0 ， 5)$	2
二	$[5 ， 10)$	6
三	$[10 ， 15)$	4
四	$[15 ， 20)$	2
五	$[20 ， 25)$	1

(1)、估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；

(2)、若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自同一组的概率．

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20. 已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点与抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 px (p > 0)$ 的焦点 $F$ 重合，且点 $F$ 到直线 $x - y + 1 = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦长为 $2 \sqrt{6}$ .

(1)、求 $F$ 的坐标；

(2)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程.

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21. 已知函数 $f(x) = x^{3} + {ax}^{2} + b$ 的图象在点 $P (1 ， 0)$ 处（即P为切点）的切线与直线 $3 x + y = 0$ 平行，记 $g (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 2 \ln x + c$ ，其中 $c$ 为常数。

(1)、求常数 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、若 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，不等式 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围。

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = a - 2 t \\ y = - 4 t \end{cases}$ ，（ $t$ 为参数），圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = 4 cosθ \\ y = 4 s i n θ \end{cases}$ ，（ $θ$ 为参数）.

(1)、求直线 $l$ 和圆 $C$ 的普通方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 有公共点，求实数 $a$ 的取值范围.

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23. 设函数 $f (x) = | x - 2 | - | 2 x + 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 0$ ；

(2)、 $\forall x \in R$ ， $f (x) - 2 m^{2} \leq 4 m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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分组	（10，20]	（20，30]	（30，40]	（40，50]	（50，60]	（60，70]
频数	2	3	x	5	y	2

	理科	文科
男	13	10
女	7	20