安徽省合肥市巢湖市2016-2017学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2017-09-16 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={0，2，3}，∁_UN={1，2，4}，则M∩N等于（）

A、{0，3} B、{0，2} C、{1，2，3} D、{1，2，3，4}

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2. 412°角的终边在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设 $\vec{a}$ =（2，﹣1）， $\vec{b}$ =（﹣3，4），则2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ 等于（）

A、（3，4） B、（1，2） C、﹣7 D、3

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4. 函数f（x）= $\sqrt{10 - 3 x}$ +lg（2^x﹣4）的定义域是（）

A、（2， $\frac{10}{3}$ ] B、[2， $\frac{10}{3}$ ] C、（2，+∞） D、[ $\frac{10}{3}$ ，+∞]

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5. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是不共线向量， $\vec{A B}$ =2 $\vec{e_{1}}$ + $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{B C}$ =﹣ $\vec{e_{1}}$ +3 $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D}$ =λ $\vec{e_{1}}$ ﹣ $\vec{e_{2}}$ ，且A，B，D三点共线，则实数λ等于（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 函数y= $\frac{1}{3}$ tan（﹣7x+ $\frac{π}{3}$ ）的一个对称中心是（）

A、（ $\frac{5 π}{21}$ ，0） B、（ $\frac{π}{21}$ ，0） C、（ $\frac{π}{42}$ ，0） D、（0， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ）

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7. 若tanθ=2，则 $\frac{s i n θ c o s θ}{1 + s i n^{2} θ}$ 的值为（）

A、﹣ $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、﹣ $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{2}{9}$

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8. $\frac{s i n 38 ° s i n 38 ° + c o s 38 ° s i n 52 ° - t a n^{2} 15 °}{3 t a n 15 °}$ 等于（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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9. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} (a - 5) x + 8 ， x \leq 2 \\ \frac{2 a}{x} ， x > 2 \end{matrix}$ 是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围为（）

A、（﹣∞，5） B、（0，2] C、（0，5） D、[2，5）

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10. 已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是非零向量且满足（ $\vec{a}$ ﹣6 $\bar{b}$ ）⊥ $\vec{a}$ ，（2 $\vec{a}$ ﹣3 $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2}{3} π$ D、 $\frac{5}{6} π$

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11. 若函数f（x）= $\sqrt{2}$ sin（2x+φ）（|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象关于直线x= $\frac{π}{12}$ 对称，且当x₁ ， x₂∈（﹣ $\frac{17 π}{12}$ ，﹣ $\frac{2 π}{3}$ ），x₁≠x₂时，f（x₁）=f（x₂），则f（x₁+x₂）等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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12. 设min{p，q，r}为表示p，q，r三者中较小的一个，若函数f（x）=min{x+1，﹣2x+7，x²﹣x+1}，则不等式f（x）＞1的解集为（）

A、（0，2） B、（﹣∞，0） C、（1，+∞） D、（1，3）

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二、填空题

13. 设幂函数f（x）=kx^a的图象过点（ $\frac{1}{3}$ ，81），则k+a= ．

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14. 函数f（x）=3cos（ $\frac{π}{2}$ x﹣ $\frac{π}{8}$ ）的最小正周期为．

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15. 设向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =﹣8，且向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影为﹣3 $\sqrt{2}$ ，则| $\vec{b}$ |= ．

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16. 如图，将两块三角板拼在一起组成一个平面四边形ABCD，若 $\vec{A C}$ =x $\vec{A B}$ +y $\vec{A D}$ （x，y∈R）．则x+y= ．

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三、解答题

17. 设f（x）=2sin（180°﹣x）+cos（﹣x）﹣sin（450°﹣x）+cos（90°+x）．

(1)、若f（α）= $\frac{2}{3}$ •α∈（0°，180°），求tanα；

(2)、若f（α）=2sinα﹣cosα+ $\frac{3}{4}$ ，求sinα•cosα的值．

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18. 已知向量 $\vec{a}$ =（﹣2，4）， $\vec{b}$ =（﹣1，﹣2）．

(1)、求 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角的余弦值；

(2)、若向量 $\vec{a}$ ﹣λ $\vec{b}$ 与2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ 垂直，求λ的值．

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19. 设奇函数f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是减函数且最大值为﹣5，函数g（x）= $\frac{a x + 1}{x + 2}$ ，其中a＜ $\frac{1}{2}$ ．

(1)、判断并用定义法证明函数g（x）在（﹣2，+∞）上的单调性；

(2)、求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[3，7]上的最小值．

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20. 据环保部通报，2016年10月24日起，京津冀周边雾霾又起，为此，环保部及时提出防控建议，推动应对工作由过去“大水漫灌式”的减排方式转变为实现精确打击．某燃煤企业为提高应急联动的同步性，新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对大气环境的污染，已知过滤后废气的污染物数量N（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：小时）间的关系为N（t）=N₀e^﹣λt（N₀ ， λ均为非零常数，e为自然对数的底数）其中N₀为t=0时的污染物数量，若经过5小时过滤后污染物数量为 $\frac{1}{e}$ N₀ ．

(1)、求常数λ的值；

(2)、试计算污染物减少到最初的10%至少需要多少时间？（精确到1小时）
参考数据：ln3≈1.10，ln5≈1.61，ln10≈2.30．

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21. 已知定义域为R的函数f（x）= $\frac{- 2^{x} + a}{2^{x} + 1}$ 是奇函数．

(1)、求实数a的值，并判断f（x）的单调性（不用证明）；

(2)、已知不等式f（log_m $\frac{3}{4}$ ）+f（﹣1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

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22. 已知向量 $\vec{a}$ =（cosx+sinx，1）， $\vec{b}$ =（cosx+sinx，﹣1）函数g（x）=4 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ ．

(1)、求函数g（x）在[ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{π}{3}$ ]上的值域；

(2)、若x∈[0，2016π]，求满足g（x）=0的实数x的个数；

(3)、求证：对任意λ＞0，都存在μ＞0，使g（x）+x﹣4＜0对x∈（﹣∞，λμ）恒成立．

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