2015年湖南省常德市中考数学真题试卷

试卷更新日期：2016-04-25 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

1. ﹣2的倒数是（　　）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、- $\frac{1}{2}$

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2. 下列等式恒成立的是（　　）

A、（a+b）²=a²+b² B、（ab）²=a²b² C、a⁴+a²=a⁶ D、a²+a²=a⁴

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3. 不等式组 $\{\begin{matrix} x + 1 > 0 \\ x - 1 ⩽ 1 \end{matrix}$ 的解集是（　　）

A、x≤2 B、x＞﹣1 C、﹣1＜x≤2 D、无解

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4. 某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为S_甲²=141.7，S_乙²=433.3，则产量稳定，适合推广的品种为（　　）

A、甲、乙均可 B、甲 C、乙 D、无法确定

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5. 一次函数y=﹣ $\frac{1}{2}$ x+1的图象不经过的象限是（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（　　）

A、50° B、80° C、100° D、130°

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7. 分式方程 $\frac{2}{x - 2} + \frac{3 x}{2 - x}$ =1的解为（　　）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{3}$ D、0

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8.
若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形A₁0₁B₁是相似扇形，且半径OA：O₁A₁=k（k为不等于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB=∠A₁0₁B₁；②△AOB∽△A₁0₁B₁；③ $\frac{A B}{A_{1} B_{1}}$ =k；④扇形AOB与扇形A₁0₁B₁的面积之比为k² ．成立的个数为（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

9. 分解因式：ax²﹣ay²=

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10. 使分式 $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ 的值为0，这时x=

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11. 计算：b（2a+5b）+a（3a﹣2b）=

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12. 埃是表示极小长度的单位名称，是为纪念瑞典物理学家埃基特朗而定的.1埃等于一亿分之一厘米，请用科学记数法表示1埃等于　厘米．

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13. 一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是　厘米²（结果保留π）．

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14. 已知A点的坐标为（﹣1，3），将A点绕坐标原点顺时针90°，则点A的对应点的坐标为

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15.
如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= .

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16.
取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：
，
如果自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值为 .

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三、

17. 计算（﹣5sin20°）⁰﹣（ $- \frac{1}{3}$ ）^﹣2+|﹣2⁴|+ $\sqrt[3]{27}$ ．

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18. 已知A（1， $\sqrt{3}$ ）是反比例函数图象上的一点，直线AC经过点A及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C，求C的坐标及反比例函数的解析式．

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19. 先化简，再求值：[ $\frac{b}{a (b - a)}$ ﹣ $\frac{1}{b - a}$ ]+[1+ $\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{b (a - b)}$ ]，其中a= $\sqrt{2}$ ， b=2．

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20.
商场为了促销某件商品，设置了如图的一个转盘，它被分成了3个相同的扇形．各扇形分别标有数字2，3，4，指针的位置固定，该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取，每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字（指针指向两个扇形的交线时，当作右边的扇形），先记的数字作为价格的十位数字，后记的数字作为价格的个位数字，则顾客购买商品的价格不超过30元的概率是多少？

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四、

21.
某校组织了一批学生随机对部分市民就是否吸烟以及吸烟和非吸烟人群对他人在公共场所吸烟的态度（分三类：A表示主动制止；B表示反感但不制止，C表示无所谓）进行了问卷调查，根据调查结果分别绘制了如下两个统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)、图1中，“吸烟”类人数所占扇形的圆心角的度数是多少？

(2)、这次被调查的市民有多少人？

(3)、补全条形统计图；

(4)、若该市共有市民760万人，求该市大约有多少人吸烟？

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22. 某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．

(1)、该物流公司月运输两种货物各多少吨？

(2)、该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？

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23.
如图1，图2，分别是吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin10°=cos80°=0.17，cos10°=sin80°=0.98，sin20°=cos70°=0.34，tan70°=2.75，sin70°=0.94）

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24.
已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．

(1)、求证：EF是⊙O的切线；

(2)、若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．

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25.
如图，曲线y₁抛物线的一部分，且表达式为：y₁= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ （x²﹣2x﹣3）（x≤3）曲线y₂与曲线y₁关于直线x=3对称．

(1)、求A、B、C三点的坐标和曲线y₂的表达式；

(2)、过点D作CD∥x轴交曲线y₁于点D，连接AD，在曲线y₂上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；

(3)、设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y₂上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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26.
如图1，在菱形ABCD中，E是CD上的一点，连接BE交AC于O，连接DO并延长交BC于E．

(1)、求证：△FOC≌△EOC；

(2)、将此图中的AD、BE分别延长交于点N，作EM∥BC交CN于M，再连接FM即得到图2．
求证：① $\frac{C F}{C B} = \frac{B E}{B N}$ ；②FD=FM．

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