湖南省长沙市2019年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2020-05-09 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 给出下列四个数：-1，0，3.14， $\sqrt{2}$ ，其中为无理数的是（）

A、 $- 1$ B、0 C、 $3.14$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 如图，点A、B在数轴上表示的数的绝对值相等，且 $AB = 4$ ，那么点A表示的数是 $($ $)$

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、3

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3. 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 在某校举行的“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（）

A、众数 B、方差 C、中位数 D、平均数

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5. 若点P（a-3，a-1）是第二象限内的一点，则a的取值范围是（）

A、 $a > 3$ B、 $a < 3$ C、 $a > 1$ D、 $1 < a < 3$

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6. 已知等腰三角形的两条边长分别是7和3．则下列四个数可作为第三条边长的是（　　）

A、3 B、4 C、7 D、7或3

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7. 如图，已知AB是⊙O的直径，∠CAB=50°，则∠D的度数为（）

A、20° B、40° C、50° D、70°

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8. 若一个圆锥的母线长为6cm ，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（）

A、1cm B、2cm C、3cm D、6cm

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9. 如图，用直尺和圆规作射线OC ，使它平分∠AOB ，则△ODC≌△OEC的理由是（）

A、SSS B、SAS C、AAS D、HL

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10. 某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）

A、50（1+x）²=182 B、50+50（1+x）+50（1+x）²=182 C、50（1+2x）=182 D、50+50（1+x）+50（1+2x）²=182

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11. 如图，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是
BC，CD，测得 BC=6 米，CD=4 米，∠BCD=150°，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 30°，则电线杆 AB 的高度为（）

A、 $2 + 2 \sqrt{3}$ B、 $4+ 2 \sqrt{3}$ C、 $2 +3 \sqrt{2}$ D、 $4+3 \sqrt{2}$

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12. 王老师从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A地，再上坡到达B地，最后下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．若王老师下班时，还沿着这条路返回家中，回家途中经过平路、上坡、下坡的速度不变，那么王老师回家需要的时间是（）

A、15分钟 B、14分钟 C、13分钟 D、12分钟

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二、填空题

13. 分解因式：ab²+a²b= ．

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14. 若二次根式 $\sqrt{2 - x}$ 有意义，则x的取值范围是．

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15. 若n边形的内角和是它的外角和的2倍，则n=.

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16. 一个密闭不透明的盒子里有若干个质地、大小均完全相同的白球和黑球，在不允许将球倒出来的情况下，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，则从中随机摸出一个球是白球的概率为．

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17. 如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点B，则k的值是．

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18. 如图，在▱ABCD中，点F在CD上，且CF：DF＝1：2，则S_△CEF：S_▱ABCD＝．

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三、综合题

19. 计算： $\sqrt{12} - 2 \sin 60 ° + {(\sqrt{2} - π)}^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ .

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20. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} + \frac{b}{a + b}$ ，其中a=2，b=- $\frac{1}{2}$ ．

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21. 某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：

(1)、本次调查的学生共有人，在扇形统计图中，m的值是；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．

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22. 如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE=AF．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形；

(2)、若∠EAF=60°，CF=2，求AF的长．

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23. 某小区为更好的提高业主垃圾分类的意识，管理处决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买3个温馨提示牌和4个垃圾箱共需580元，且每个温馨提示牌比垃圾箱便宜40元．

(1)、问购买1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需多少元？

(2)、如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，费用不超过8000元，问最多购买垃圾箱多少个？

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24. 定义：（i）如果两个函数y₁ ， y₂ ，存在x取同一个值，使得y₁=y₂ ，那么称y₁ ， y₂为“合作函数”，称对应x的值为y₁ ， y₂的“合作点”；（ii）如果两个函数为y₁ ， y₂为“合作函数”，那么y₁+y₂的最大值称为y₁ ， y₂的“共赢值”．

(1)、判断函数y=x+m与y= $\frac{3}{x}$ 是否为“合作函数”，如果是，请求出m=2时它们的合作点；如果不是，请说明理由；

(2)、判断函数y=x+m与y=3x-1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；

(3)、已知函数y=x+m与y=x²-（2m+1）x+（m²+3m-3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．
①求出m的取值范围；

②若它们的“共赢值”为18，试求出m的值．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，直线y= $\frac{1}{2}$ x-1与抛物线y=- $\frac{5}{12}$ x²+bx+c相交于A ， B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-6，点P是抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与点A ， B重合）．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、连接PA ， PB ，在点P运动的过程中，是否存在某一位置，使得△PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、过点P作PD∥y轴交直线AB于点D ，以PD为直径的⊙E与直线AB相交于点G ，求DG的最大值．

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