浙江省衢州五校2018-2019学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-05-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A ={1,2}$ ， $B ={2,3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${1, 2, 3}$ C、 ${1, 3}$ D、 ${2, 3}$

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2. 化简 $\vec{A C} - \vec{B D} + \vec{C D} - \vec{A B}$ 得（）

A、 $\vec{0}$ B、 $\vec{D A}$ C、 $\vec{B C}$ D、 $\vec{A B}$

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3. 已知扇形圆心角的弧度数为2，半径为3cm，则扇形的弧长为（）

A、3cm B、6cm C、9cm D、18cm

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4. 已知点 $A (x, y)$ 是 $30 °$ 角终边上异于原点的一点，则 $\frac{y}{x}$ 等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2, 1), \overset{⇀}{b} = (x, - 2)$ ，若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ ，则 $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} =$ （）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(3, - 1)$ D、 $(- 3, 1)$

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6. 若tan $α$ =3，则 $\frac{\sin 2 α}{\cos^{2} a}$ 的值等于

A、2 B、3 C、4 D、6

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7. 若函数 $f (x) = \cos^{2} x - \frac{1}{2} (x \in R)$ ，则 $f (x)$ 是（）

A、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的奇函数 B、最小正周期为 $π$ 的奇函数 C、最小正周期为 $π$ 的偶函数 D、最小正周期为 $2 π$ 的偶函数

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8. 在 $Δ A B C$ 中， $a = 2 \sqrt{3} ， b = 2 \sqrt{2} ， ∠ B = 45^{°}$ ，则∠ $A$ 等于（　　）

A、30°或150° B、60° C、60°或120° D、30°

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9. 设a＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°，b＝2cos²13°－1，c＝ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则有（　　）

A、c<a<b B、b<c<a C、a<b<c D、b<a<c

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10. 函数 $y = e^{| x |} \cdot \sin x$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. $8^{\frac{2}{3}} =$ ， $\log_{2} \sqrt{2} =$ .

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12. 角 $α$ 终边过点 $(- 1, \sqrt{2})$ ，则 $\tan α =$ ， $\cos 2 α =$ .

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13. 已知钝角 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，则角 $B =$ ， $A C =$ ．

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14. 在平行四边形ABCD中， $| \overset{⇀}{A B} | = 3$ ， $| \overset{⇀}{B C} | = 2$ ， $\overset{⇀}{e_{1}} = \frac{\overset{⇀}{A B}}{| \overset{⇀}{A B} |}$ ， $\overset{⇀}{e_{2}} = \frac{\overset{⇀}{A D}}{| \overset{⇀}{A D} |}$ ，若 $\overset{⇀}{A C} = x \overset{⇀}{e_{1}} + y \overset{⇀}{e_{2}}$ ，则 $x =$ ； $y =$ .

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15. 在△ABC中，若A=60°，C=45°，b=4，则此三角形的最小边是．

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16. 已知函数 $f (x) = \sin x$ .若存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{m}$ 满足 $0 \leq x_{1} < x_{2} < \dots < x_{m} \leq 6 π$ ，且 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | +$ $| f (x_{2}) - f (x_{3}) | + \dots + | f (x_{m - 1}) - f (x_{m}) | = 12 (m \geq 0 ， m \in N^{*})$ ，则m的最小值为.

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17. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.给出下列函数：
⑴ $f_{1} (x) = \sqrt{2} \sin x + \sqrt{2}$ ； ⑵ $f_{2} (x) = \sqrt{2} (\sin x + \cos x)$ ；

⑶ $f_{3} (x) = \sin x$ ； ⑷ $f_{4} (x) = 2 \cos \frac{x}{2} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})$ .

其中与 $f (x) = \sin x + \cos x$ 构成“互为生成函数”的有.（把所有可能的函数的序号都填上）

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三、解答题

18. 已知 $\cos α = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求：

(1)、 $\cos 2 α$ 的值；

(2)、 $\sin (α - \frac{π}{3})$ 的值.

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19. 平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，1），C（2，5），D是AC上的动点，满足 $\overset{⇀}{A D} = λ \overset{⇀}{A C} (λ \in R)$ ．

(1)、求 $| 2 \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C} |$ 的值；

(2)、求cos∠BAC；

(3)、若 $\overset{⇀}{B D} ⊥ \overset{⇀}{B A}$ ，求实数λ的值．

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20. $Δ A B C$ 中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足 $b^{2} = a^{2} + c^{2} - a c$ ，

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $A = \frac{5 π}{12}$ ， $b = 2$ ，求边c的大小；

(3)、若 $a + c = 4$ ，求b的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 1$ .求：

(1)、将 $f (x)$ 化成 $f (x) = A \sin (ω x + φ) + h$ 的形式，并说明其最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ ， $g (x) = k \sin (x - \frac{π}{6})$ ，（ $k \neq 0$ ）

(1)、问a取何值时，方程 $f (\sin x) = a - \sin x$ 在 $[0, 2 π)$ 上有两解；

(2)、若对任意的 $x_{1} \in [0, 3]$ ，总存在 $x_{2} \in [0, 3]$ ，使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围？

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