广东省深圳市四校发展联盟体2018-2019学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-05-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $Δ A B C$ 中， $\frac{b}{\sin A} = \frac{a}{\sin B}$ ，则该三角形为（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、不能确定

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2. 某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（）

A、快、新、乐 B、乐、新、快 C、新、乐、快 D、乐、快、新

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3. 已知 $\vec{a} = (2 ， 4)$ ，则与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量的坐标是（）

A、 $(\frac{\sqrt{5}}{5} ， - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ 或 $(- \frac{\sqrt{5}}{5} ， - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ B、 $(\frac{\sqrt{5}}{5} ， - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ 或 $(- \frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ C、 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， - \frac{\sqrt{5}}{5})$ 或 $(- \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， - \frac{\sqrt{5}}{5})$ D、 $(- \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{5}}{5})$ 或 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， - \frac{\sqrt{5}}{5})$

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4. 已知 $m 、 n$ 是两条不同直线, $α 、 β$ 是两个不同平面,下列命题中的假命题是（）

A、若 $m ⊥ α ， m ⊥ β ，$ 则 $α ∥ β$ B、若 $m ∥ n ， m ⊥ α ，$ 则 $n ⊥ α$ C、若 $m ∥ α ， α \cap β = n ，$ 则 $m ∥ n$ D、若 $m ⊥ α ，$ $m$ 在 $β$ 内，则 $α ⊥ β$

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5. 在 $Δ A B C$ 中， $b = 19, c = 20, B = 60^{o}$ ，那么这样的三角形有（　　）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6. 正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $C D$ ， $B C$ 的中点，那么 $\overset{⇀}{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ B、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ C、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ D、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$

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7. 已知等腰三角形的底边长为 $6$ ，一腰长为 $12$ ，则它的外接圆半径为（　　）

A、 $\frac{7 \sqrt{15}}{5}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{15}}{5}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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8. 某人朝正东方向走 $x k m$ 后，向朝南偏西 $60 °$ 的方向走 $3 k m$ ，结果他离出发点恰好 $\sqrt{3} k m$ ，那么 $x$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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9. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $A D = B C$ ，且 $A D ⊥ B C$ ， $E 、 F$ 分别是 $A B 、 C D$ 的中点，则 $E F$ 与 $B C$ 所成的角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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10. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3, | \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为（）

A、3 B、 $- 3$ C、 $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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11. 将一个正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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12. 在 $Δ A B C$ 中， $C = 3 B$ ，则 $\frac{c}{b}$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(\sqrt{2}, 3)$ C、 $(1, \sqrt{3})$ D、 $(1, 3)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 x, 7)$ ， $\vec{b} = (6, x + 4)$ ，当 $x =$ 时， $\vec{a} / / \vec{b}$ .

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14. 在 $Δ A B C$ 中， $a = 5$ ， $b = 7$ ， $c = 8$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为

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15. 一个底面直径是32cm的圆柱形水桶装入适量水后，再将一个铁球放入水中，球被水完全淹没，且水面升高了9cm（水没有溢出）.则球的表面积等于cm².

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16. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $1$ ，延长 $B A$ 至 $E$ ，使 $A E = 1$ ，连接 $E C$ 、 $E D$ ，则 $\sin ∠ C E D =$ .

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三、解答题

17. 如图所示，在 $Δ A B C$ 中， $\frac{C D}{D A} = \frac{A E}{E B} = \frac{1}{2}$ ，记 $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ，求证： $\vec{D E} = \frac{1}{3} (\vec{b} - \vec{a})$ .

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，已知 $A D ⊥ C D$ ， $A D = 10$ ， $A B = 14$ ， $∠ B D A = 60^{\circ}$ ， $∠ B C D {=135}^{\circ}$ ，求 $B C$ 的长度。

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19. $Δ A B C$ 的角A，B，C的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a \sin A + b \sin B - c \sin C = a \sin B$ ．

(1)、求角C；

(2)、若 $a + b = 5$ ，三角形的面积 $S_{Δ A B C} = \frac{3}{2} \sqrt{3}$ ，求c的值．

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20. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且 $∠ O P E = 30 °$ ，求该四棱锥的侧面积和表面积．

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 对边的边长分别是 $a ， b ， c$ ，已知 $c = 2$ ， $C = \frac{π}{3}$ ．
（Ⅰ）若 $△ A B C$ 的面积等于 $\sqrt{3}$ ，求 $a ， b$ ；

（Ⅱ）若 $\sin C + \sin (B - A) = 2 \sin 2 A$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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22. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 在棱 $C C_{1}$ 的延长线上，且 $C C_{1} = C_{1} E = B C = \frac{1}{2} A B = 1$ ．

（Ⅰ）求证： $D_{1} E$ ∥平面 $A C B_{1}$ ；

（Ⅱ）求证：平面 $D_{1} B_{1} E$ $⊥$ 平面 $D C B_{1}$ ；

（Ⅲ）求四面体 $D_{1} B_{1} A C$ 的体积．

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