广东省茂名市电白区2018-2019学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-05-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 数列 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{4}{5}$ ， $\frac{6}{7}$ ， $\frac{8}{9}$ ，…的第10项是（）

A、 $\frac{16}{17}$ B、 $\frac{18}{19}$ C、 $\frac{20}{21}$ D、

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2. 不等式 $\frac{x + 1}{x - 1} \leq 0$ 的解集为（）

A、 ${x | - 1 \leq x < 1}$ B、 ${x | - 1 < x \leq 1}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | - 1 < x < 1}$

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{5} = 90$ ，则 $a_{2} + a_{8} =$ （）

A、90 B、270 C、180 D、360

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4. 等比数列 ${a_{n}}$ 的各n项都是正数，且 $a_{5} \cdot a_{7} = 16$ ，则 $a_{6}$ 等于（）

A、4 B、8 C、16 D、32

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5. 设数列｛ $a_{n}$ ｝的前n项和 $S_{n}$ = $n_{}^{2}$ ，则 $a_{8}$ 的值为（）

A、15 B、16 C、49 D、64

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6. 若 $a > b$ , 则下列不等式正确的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a c > b c$ C、 $a - c > b - c$ D、 $a c^{2} > b c^{2}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $A = 135^{°}$ ， $C = 30^{°}$ ， $c = 20$ ，则边a的长为（）

A、 $10 \sqrt{2}$ B、 $20 \sqrt{2}$ C、 $20 \sqrt{6}$ D、 $\frac{20 \sqrt{6}}{3}$

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8. 在△ABC中,A＝60°,AB＝1,AC＝2,则△ABC的面积 $S_{△ ABC}$ ＝（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9. $\sin 20 ° \cos 10 ° - \cos 160 ° \sin 10 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 下列各式中，值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、 $\sin 15^{°} \cos 15^{°}$ B、 $\cos^{2} \frac{π}{12} - \sin^{2} \frac{π}{12}$ C、 $\frac{\tan 22 \cdot 5^{°}}{1 - \tan^{2} 22 \cdot 5^{°}}$ D、 $\frac{1 + \cos 30^{°}}{2}$

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11. 数列 $\frac{1}{2 \times 5}$ ， $\frac{1}{5 \times 8}$ ， $\frac{1}{8 \times 11}$ ，…， $\frac{1}{(3 n - 1) \times (3 n + 2)}$ ，…的前n项和为（）

A、 $\frac{n}{3 n + 2}$ B、 $\frac{n}{6 n + 4}$ C、 $\frac{3 n}{6 n + 4}$ D、 $\frac{n + 1}{n + 2}$

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12. 在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是（）

A、此人第二天走了九十六里路 B、此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C、此人第三天走的路程占全程的 $\frac{1}{8}$ D、此人后三天共走了四十二里路

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二、填空题

13. 不等式 $x^{2} - 5 x - 6 > 0$ 的解集是.

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14. 若 $tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{6}$ ，则 $tan α =$ .

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15. 设a，b为正数，且a＋b＝1，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是．

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16. 已知 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 且 $a = 6$ ， $4 \sin B = 5 \sin C$ ，有以下四个命题：
① $Δ A B C$ 的面积的最大值为40；

②满足条件的 $Δ A B C$ 不可能是直角三角形；

③当 $A = 2 C$ 时， $Δ A B C$ 的周长为15；

④当 $A = 2 C$ 时，若 $O$ 为 $Δ A B C$ 的内心，则 $Δ A O B$ 的面积为 $\sqrt{7}$ .

其中正确命题有（填写出所有正确命题的番号）．

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三、解答题

17. 已知 $\tan α = - \frac{1}{3}$ ， $\cos β = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $α \in [\frac{π}{2}, π]$ ， $β \in [0, \frac{π}{2}]$ .

(1)、求 $\tan β$ 的值；

(2)、求 $\tan (α + β)$ 的值，并求出 $α + β$ 的值.

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18. 已知等差数列{a_n}中，a₁=1，a₃=﹣3．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{a_n}的前k项和S_k=﹣35，求k的值．

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19. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{5} = 4 a_{3}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m} = 63$ ，求 $m$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = {(\sin x + \cos x)}^{2} + 2 \cos^{2} x$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 周期及其单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求 $y = f (x)$ 的最大值和最小值.

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 $b \sin A = a \cos (B - \frac{π}{6})$ .
（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和 $\sin (2 A - B)$ 的值.

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22. 已知数列{a_n}的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ， $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n}} - 1}$ 为等比数列；

(2)、记 $S_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}$ ，若S_n<100，求最大正整数n；

(3)、是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且a_m－1，
a_s－1，a_n－1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．

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