浙江省温州市“十五校联合体”2018-2019学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-05-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在三角形 $A, B, C$ 中，角 $A, B, C$ 成等差数列，则 $cosB$ 的大小为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 在 $Δ A B C$ 中， $A C = \sqrt{3}, B C = 2, ∠ B = 60^{0}$ ，则 $A B$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

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3. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 2, a_{2} + a_{4} = \frac{20}{3}$ ，则公比 $q$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $2$ 或 $\frac{1}{2}$ D、 $3$ 或 $\frac{1}{3}$

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4. 为了得到函数的图象，只需把的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ B、向右平移 $\frac{π}{4}$ C、向左平移 $\frac{π}{2}$ D、向右平移 $\frac{π}{2}$

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5. 若 $\cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，数列是等差数列，若 $a_{4} \cdot a_{8} \cdot a_{9} = - 3 \sqrt{3} ， b_{4} + b_{8} + b_{9} = 5 π$ ，则 $\tan \frac{b_{4} + b_{10}}{a_{3} \cdot a_{11} - 1} =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 C、 D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ，已知 $a_{1} > 0, S_{5} = S_{17}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $d > 0$ B、 $a_{11} < 0$ C、 $a_{12} > 0$ D、 $S_{22} = 0$

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8. 在 $Δ A B C$ 中角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a c = b^{2} - a^{2}, A = \frac{π}{6}$ ，则 $Δ A B C$ 的形状为（）

A、等腰三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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9. 已知 $Δ A B C$ 中， $A B = 3, B C = 2, A C = 4, G$ 为 $Δ A B C$ 的重心，则 $\overset{⇀}{A G} \cdot \overset{⇀}{G C} =$ （）

A、 $\frac{67}{18}$ B、 $- \frac{67}{18}$ C、 $\frac{26}{9}$ D、 $- \frac{26}{9}$

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二、填空题

10. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $A (2, 7)$ ， $C (7, - 5)$ ， $\overset{⇀}{B D} = (m, 2)$ ，则 $| \overset{⇀}{A C} | =$ ；若 $\overset{⇀}{A C} ⊥ \overset{⇀}{B D}$ ，则 $m =$ .

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11. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = x \cdot 3^{n} - \frac{1}{2}$ ，则 $x =$ ， ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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12. 已知角 $α$ 的终边过点 $P (1, - 2)$ ，则 $\tan α =$ ， $\frac{\sin (π - α) + \cos (- α)}{2 \cos (\frac{π}{2} - α) - \sin (\frac{π}{2} + α)} =$ .

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13. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ，其中（ $a =$ ）的部分图像如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式是.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n} = 2 - \frac{1}{a_{n - 1}} （ n \geq 2, n \in N^{*} ）$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项之积为 $\prod_{n}$ ，则 $\prod_{2019}$ 的值为.

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15. 在 $Δ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}, A C : B C = 2 : 3$ ，点 $D$ 为线段 $A B$ 上一动点，若 $\overset{⇀}{D A} \cdot \overset{⇀}{D C}$ 最小值为 $- \frac{3}{4}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为.

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三、解答题

16. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 满足：

(1)、求 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求向量 $\overset{⇀}{a}$ 在向量 $3 \overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b}$ 上的投影.

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17. 在 $Δ A B C$ 中， $\cos C = \frac{1}{7} ， B C = 5 ， Δ A B C$ 的面积为 $10 \sqrt{3}$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、求 $\sin ∠ A D C$ 的值.

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18. 已知函数 $f （ x ） = 2 \sqrt{3} sin ω x cos ω x - 2 {sin}^{2} ω x$ （其中 $ω > 0$ ）图像的两条相邻对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2} .$

(1)、求 $ω$ 的值及 $f （ x ）$ 的单调减区间；

(2)、若 $f （ x_{0} ） = \frac{1}{5}, x_{0} \in [- \frac{π}{12}, \frac{π}{4}],$ 求 $f （ x_{0} + \frac{π}{6} ）$ 的值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{2} = 4$ ， $2 S_{n} = n a_{n} + n ， n \in N^{*} .$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若取出数列 ${a_{n}}$ 中的部分项 $a_{2} ， a_{6} ， a_{22} ， ...$ 依次组成一个等比数列 ${c_{n}}$ ，若数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} = b_{n} \cdot c_{n}$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} < \frac{2}{3} .$

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