浙江省台州市联谊五校2018-2019学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-05-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2, a_{3} = 4$ ，则公差 $d =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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2. 已知向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 满足 $\overset{⇀}{a} = (1, 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2, 0)$ ，则 $2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} =$ （）

A、 $(4, 4)$ B、 $(2, 4)$ C、 $(2, 2)$ D、 $(3, 2)$

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3. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - \frac{1}{4}$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}} (n > 1)$ ，则 $a_{2019}$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $5$ D、以上都不对

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4. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2, 1), \overset{⇀}{b} = (λ, 2)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $4$

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5. 在 $Δ A B C$ 中，若 $\tan A \tan B > 1$ ，那么 $Δ A B C$ 是（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定

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6. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，下列结论不正确的是（）

A、 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ B、 $a \sin B = b \sin A$ C、 $a = b \cos C + c \cos B$ D、 $a \cos B + b \cos A = sinC$

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7. $《$ 莱因德纸草书 $》$ 是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 $\frac{1}{7}$ 是较小的两份之和，则最小一份面包是 $($ $)$

A、2个 B、13个 C、24个 D、35个

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} \cdot a_{n} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则（）

A、 $a_{2018} = 2^{2018}$ B、 $S_{2018} = 3 \cdot 2^{1009} - 3$ C、数列 ${a_{2 n - 1}}$ 是等差数列 D、数列 ${a_{n}}$ 是等比数列

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9. 平面向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{e}$ 满足 $| \overset{⇀}{e} | = 1, \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{e} = 1, \overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{e} = 3, | \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | = 4$ ，当 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |$ 取得最小值时， $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} =$ （）

A、0 B、2 C、3 D、6

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10. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若存在实数 $M > 0$ ，使得对于任意的 $n \in N *$ ，都有 $| S_{n} | < M$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为“ $T$ 数列”（）

A、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，且首项 $a_{1} = 0$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是“ $T$ 数列” B、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，且公差 $d = 0$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是“ $T$ 数列” C、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，也是“ $T$ 数列”，则数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q$ 满足 $| q | < 1$ D、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，且公比 $q$ 满足 $| q | < 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是“ $T$ 数列”

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二、填空题

11. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (2, m)$ .若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ ； $| \vec{b} | =$ .

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2}$ ， $n \in N^{*}$ ,则 $a_{1} =$ ； $a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + ... + a_{2017} - a_{2018} =$ ．

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13. 在 $Δ A B C$ 中，边 $a, b, c$ 所对的角分别为 $A, B, C$ ，若 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - \sqrt{3} b c$ ， $\sin C = 2 \cos B$ ，则 $A =$ ； $C =$ .

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{5} =18, a_{3} a_{4} =32$ ，若 ${a_{n}}$ 为单调递增的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{10} =$ ；若 ${a_{n}}$ 为单调递减的等比数列，其前 $n$ 项和为 $T_{n} = 63$ ，则 $n =$ .

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15. 已知向量 $\overset{⇀}{p} = \frac{\overset{⇀}{a}}{| \overset{⇀}{a} |} + \frac{\overset{⇀}{b}}{| \overset{⇀}{b} |}$ ，其中 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 均为非零向量，则 $| \overset{⇀}{p} |$ 的取值范围为.

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16. 若锐角 $Δ A B C$ 的面积为 $10 \sqrt{3}, A B = 5, A C = 8$ ，则 $B C$ 边上的中线 $A D$ 为．

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17. 在同一个平面内，向量 $\overset{⇀}{O A} ， \overset{⇀}{O B} ， \overset{⇀}{O C}$ 的模分别为 $1 ， 1 ， \sqrt{2} ， \overset{⇀}{O A}$ 与 $\overset{⇀}{O C}$ 的夹角为 $α$ ，且 $tan α = 7 ， \overset{⇀}{O B}$ 与 $\overset{⇀}{O C}$ 的夹角为 $45^{\circ}$ ，若 $\overset{⇀}{O C} = m \overset{⇀}{O A} + n \overset{⇀}{O B} (m ， n \in R)$ ，则 $m + n =$ ．

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三、解答题

18. 已知 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 为单位向量， $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $| 2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |$ ；

(2)、求 $2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ$ 的余弦值；

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19. 如图，在圆内接 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，满足 $a \cos C + c \cos A = 2 b \cos B$ .

(1)、求 $B$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 是劣弧 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点， $a = 2 ， c = 3 ， \cos ∠ C A D = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，求线段 $A D$ 长.

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20. 已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前9项和 $S_{9} = 45$ ，且 $a_{2} ， a_{4} ， a_{8}$ 成等比数列．

(1)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = a_{1} ， 2 b_{n + 1} =2 b_{n} + a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = a_{n} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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21. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $c = 2 b$ .

(1)、若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 1$ ，求 $Δ A B C$ 的面积；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的面积的最大值.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均不为零，其前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{n} = 2 a_{n} - 2 (n \in N^{*})$ ，设 $b_{n} = \frac{3^{n}}{2^{n} S_{n}}$ ，数列的 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

(1)、比较 $b_{n + 1}$ 与 $\frac{3}{4} b_{n}$ 的大小；

(2)、证明： $T_{2 n - 1} < 3, n \in N^{*}$ ．

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