浙江省慈溪市六校2018-2019学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-05-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 不等式 $x^{2} - 2 x - 8 \geq 0$ 的解集为（）

A、 $[- 2, 4]$ B、 $(- \infty, - 2] \cup [4, + \infty)$ C、 $[- 4, 2]$ D、 $(- \infty, - 4] \cup [2, + \infty)$

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2. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 2$ ，且 $a_{1} \cdot a_{5} = 64$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是（）

A、 $2^{n} - 2$ B、 $2^{n} - 1$ C、 $2^{n + 1} - 2$ D、 $2^{n + 1} - 1$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项 $a_{1} = 4$ ，公比 $q \neq 1$ 的等比数列，且 $4 a_{1}$ ， $a_{5}$ ， $- 2 a_{3}$ 成等差数列，则公比 $q$ 等于（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、 $2$

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4. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sin^{2} A = \sin^{2} B + \sin B \sin C + \sin^{2} C$ ，则 $∠ A =$ （）

A、 $150 °$ B、 $120 °$ C、 $60 °$ D、 $30 °$

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5. 已知在 $△ A B C$ 中， $sin A + sin B = (cos A + cos B) \cdot sin C$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、直角三角形

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6. 已知 $a > b > 0, c < 0$ ，下列不等关系中正确的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $a^{c} > b^{c}$ C、 $\log_{a} (a - c) > \log_{b} (b - c)$ D、 $\frac{a}{a - c} > \frac{b}{b - c}$

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7. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $a = 2$ ， $B = 45 °$ ， $b = 1$ ，则该三角形（）

A、无解 B、有一解 C、有两解 D、不能确定

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8. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，满足 $x^{2} + 2 x y - 1 = 0$ ，则 $2 x + y$ 的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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9. 函数 $f (x) = x^{2}$ ，定义数列 ${a_{n}}$ 如下： $a_{n + 1} = f (a_{n})$ ， $n \in N^{*}$ .若给定 $a_{1}$ 的值，得到无穷数列 ${a_{n}}$ 满足：对任意正整数 $n$ ，均有 $a_{n + 1} > a_{n}$ ，则 $a_{1}$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(- 1, 0)$

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} + a_{5} = 18$ ，则 $S_{5}$ 等于（）

A、18 B、36 C、45 D、72

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二、填空题

11. 已知在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} + a_{5} + a_{9} = 8 π$ ，则前 $9$ 项和 $S_{9} =$ ， $cos (a_{3} + a_{7}) =$ .

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12. 设正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2} = 3$ ， $S_{4} = 15$ ，则公比 $q =$ ， $S_{6} =$ .

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13. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n + 2}{n + 1} (n \in N_{+})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ，数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $10$ 项和为.

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14. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $sin B = \frac{3}{5}$ ， $b = 5$ ， $A = 2 B$ ，则边长 $a$ 的值是.

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15. 关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a x + a + 3 \geq 0$ 在区间 $[- 2, 0]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b} = 1$ ，则 $3 a + 2 b$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 设 $Δ A B C$ 角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ， $a = 2, \cos B = \frac{3}{5}$ .

(1)、若 $b = 4$ ，求 $\sin A$ 的值；

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积 $S_{Δ A B C} = 4$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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18. 已知 $a \in R$ ，若关于 $x$ 的不等式 $(1 - a) x^{2} - 4 x + 6 > 0$ 的解集是 $(- 3, 1)$ .

(1)、解不等式 $2 x^{2} + (2 - a) x - a > 0$ ；

(2)、若 $a x^{2} + b x + 3 \geq 0$ 的解集为 $R$ ，求实数 $b$ 的取值范围.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$ .

(1)、证明数列 ${a_{n} - 1}$ 是等比数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = n a_{n}$ ，若 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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20. 数列 ${a_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ 各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 a_{n} S_{n} - a_{n}^{2} = 1$ .

(1)、求证数列 ${S_{n}^{2}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2}{4 S_{n}^{4} - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，并求使 $T_{n} > \frac{1}{6} (m^{2} - 3 m)$ 对所有的 $n \in N^{*}$ 都成立的最大正整数 $m$ 的值.

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