吉林省舒兰市2018-2019学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-05-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 角 $α = - 60 ° + k \cdot 180 ° (k \in Z)$ 的终边落在（）

A、第四象限 B、第一、二象限 C、第一象限 D、第二、四象限

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2. 已知 $sin α = \frac{3}{4}$ ，则 $cos (2 α - π) =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $- \frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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3. 在四边形ABCD中， $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{B C} = - 4 \overset{⇀}{a} - 3 \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{C D} = - 5 \overset{⇀}{a} - 5 \overset{⇀}{b}$ ，那么四边形ABCD的形状是（）

A、矩形 B、平行四边形 C、梯形 D、以上都不对

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4. 已知 $\tan α = - \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{1 + \cos 2 α + 8 \sin^{2} α}{\sin 2 α}$ 的值为（）

A、 $\frac{25}{3}$ B、 $- \frac{65}{4}$ C、4 D、 $- \frac{25}{6}$

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5. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, λ)$ ， $\overset{⇀}{b} = (1, 0)$ ， $\overset{⇀}{c} = (8, 4)$ .若 $λ$ 为实数， $(\overset{⇀}{a} - 5 \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{c}$ ，则 $λ =$ （）

A、-2 B、2 C、5 D、8

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6. 要得到函数 $y = cos （ 2 x - 2 ）$ 的图象，只要将函数 $y = sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{1}{2}$ 个单位 B、向右平移 $1 - \frac{π}{4}$ 个单位 C、向左平移 $1 - \frac{π}{4}$ 个单位 D、向右平移 $1 + \frac{π}{4}$ 个单位

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7. 设非零向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角是 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $| \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |$ ，则 $\frac{| 2 \overset{⇀}{a} - t \overset{⇀}{b} |}{| 2 \overset{⇀}{b} |}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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8. 已知函数 $f （ x ） = - 2 sin （ 3 x + φ ）（ 0 < φ < 2 π ）$ ，若 $（ \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6} ）$ 是 $f （ x ）$ 的一个单调递增区间，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $- π$ C、 $- \frac{π}{6}$ D、 $π$

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9. 已知 $Δ A B C$ 为等边三角形， $A B = 2$ .设点 $P$ ， $Q$ 满足 $\overset{⇀}{A P} = λ \overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{A Q} = (1 - λ) \overset{⇀}{A C}$ ， $λ \in R$ .若 $\overset{⇀}{B Q} \cdot \overset{⇀}{C P} = - 6$ ，则 $λ$ 等于（）

A、-1 B、2 C、-1或2 D、1或-2

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10. 角 $A$ ， $B$ ， $C$ 是 $Δ A B C$ 三内角，且满足 $sin C sin A = \sqrt{3} sin A cos C$ ，则 $sin A + sin B$ 的最大值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 对任意两个非零的平面向量 $\overset{⇀}{α}$ 和 $\overset{⇀}{β}$ ，定义 $\overset{⇀}{α β} = \frac{\overset{⇀}{α} \cdot \overset{⇀}{β}}{\overset{⇀}{β} \cdot \overset{⇀}{β}}$ .若平面向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | \geq | \overset{⇀}{b} | > 0$ ， $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ \in (0, \frac{π}{6})$ ，且 $\overset{⇀}{a b}$ 和 $\overset{⇀}{b a}$ 都在集合 ${\frac{n}{3} | n \in Z}$ 中，则 $\overset{⇀}{a b} =$ （）

A、1， $\frac{5}{3}$ ， $\frac{7}{3}$ B、1， $\frac{4}{3}$ ， $\frac{8}{3}$ C、2， $\frac{7}{3}$ ， $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$ ， $\frac{7}{3}$ ， $\frac{8}{3}$

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二、填空题

12. 定义域在 $R$ 上的函数 $f （ x ）$ 既是奇函数又是周期函数，若 $f （ x ）$ 的最小正周期是 $π$ ，且当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f （ x ） = - 4 sin 2 x$ ，则 $f （ \frac{8 π}{3} ）$ 的值为．

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2} ， B C = 2 ，$ 点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 在边 $C D$ 上，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A F} = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B F}$ 的值是．

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14. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\overset{⇀}{m} = (\cos \frac{3 A}{2}, \sin \frac{3 A}{2})$ ， $\overset{⇀}{n} = (\cos \frac{A}{2}, \sin \frac{A}{2})$ ，且满足 $| \overset{⇀}{m} + \overset{⇀}{n} | = \sqrt{3}$ .则 $∠ A =$ ．

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15. 设 $α$ 为第四象限的角，若 $\frac{\sin 3 α}{\sin α} = \frac{13}{5}$ ，则 $\cos 2 α - \sin 2 α =$ ．

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三、解答题

16. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2, 1)$ ， $A (1, 0)$ ， $B (\cos θ, t)$ .

(1)、若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{A B}$ ，且 $| \overset{⇀}{A B} | = \sqrt{5} | \overset{⇀}{O A} |$ ，求向量 $\overset{⇀}{O B}$ 的坐标.

(2)、若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{A B}$ ，求 $y = \cos^{2} θ - \cos θ + t^{2}$ 的最小值.

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17. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3}) + \sin (2 x - \frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} x - 1 ， x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

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18. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标分别为 $A (3, 0)$ ， $B (0, 3)$ ， $C (\cos α, \sin α)$ ， $α \in (0, 2 π)$ .

(1)、若 $| \overset{⇀}{A C} | = | \overset{⇀}{B C} |$ ，求角 $α$ 的值.

(2)、若 $\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{B C} = 0$ ，求 $\frac{\sin^{2} α + \sin α \cos α}{2 + 2 \tan α}$ 的值.

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19. 函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式.

(2)、若不等式 $| f (x) - m | < 3$ ，对任意 $x \in [\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = (a + 2 \cos^{2} x) \cos (2 x + θ)$ 为奇函数，且 $f (\frac{π}{4}) = 0$ ，其中 $a \in R$ ， $θ \in (0, π)$ .

(1)、求 $a$ ， $θ$ 的值.

(2)、若 $f (\frac{α}{4}) = - \frac{2}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $\sin (α + \frac{π}{3})$ 的值.

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