北京市通州区2019年高三数学三模试卷

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {0, 1, 2}$ ， $Q = {x | x < 2}$ ，则 $P \cap Q$ =（）

A、 ${0}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${0, 2}$

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2. 设复数 $\frac{2 i}{1 - i} = a + b i (a ， b \in R)$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $- 1$

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3. 执行如图所示的程序框图，输出的 $s$ 值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{15}{16}$ D、 $\frac{7}{4}$

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4. 三国时期著名的数学家刘徽对推导特殊数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了许多算法，展现了聪明才智．他在《九章算术》“盈不足”章的第19题的注文中给出了一个特殊数列的求和公式．这个题的大意是：一匹良马和一匹驽马由长安出发至齐地，长安与齐地相距3000里（1里=500米），良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里．驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走半里．良马先到齐地后，马上返回长安迎驽马，问两匹马在第几天相遇（）

A、14天 B、15天 C、16天 D、17天

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5. 若不等式组 ${\begin{array}{l} x ⩽ 1 ， \\ x - a y + 1 ⩾ 0 ， \\ x + y - 2 ⩾ 0 ， \end{array}$ 可表示为由直线围成的三角形区域（包括边界），则实数 $a$ 的范围是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(- \infty ， - 1)$

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6. 设 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 均为单位向量，则“ $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 夹角为 $\frac{2π}{3}$ ”是“ $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = \sqrt{3}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， x \leq a ， \\ x^{2} - x + a ， x > a . \end{array}$ 则下列结论中正确的是（）

A、对任意实数 $a$ ，函数 $f (x)$ 的最小值为 $a - \frac{1}{4}$ B、对任意实数 $a$ ，函数 $f (x)$ 的最小值都不是 $a - \frac{1}{4}$ C、当且仅当 $a \leq \frac{1}{2}$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $a - \frac{1}{4}$ D、当且仅当 $a \leq \frac{1}{4}$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $a - \frac{1}{4}$

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二、填空题

8. 设 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{2} a_{4} = a_{5}$ ， $a_{4} = 27$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为．

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9. 在极坐标系中，若点 $A$ 在圆 $C : ρ = 1$ 上，则点 $A$ 到直线 $l : ρ (\cos θ + \sin θ) = 2$ 距离的最大值为.

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10. 已知函数 $y = \sin ω x$ $(ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{4})$ 上有最大值，没有最小值，则 $ω$ 的取值范围为．

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11. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是

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12. 能够说明“在某个区间 $(a ， b)$ 内，如果函数 $y = f (x)$ 在这个区间内单调递增，那么 $f^{'} (x) > 0$ 恒成立”是假命题的一个函数是．（写出函数表达式和区间）

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13. 如图所示，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ，椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 及双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0 ， n > 0)$ 均以正方形顶点 $B ， D$ 为焦点且经过线段 $A B$ 的中点 $E$ ，则椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 离心率之比为．

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三、解答题

14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $a = 3$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ， $\cos B = - \frac{1}{3}$ ．
（Ⅰ）求 $c$ 的值；

（Ⅱ）若 $D$ 为 $B C$ 边上的点，且 $A D = \frac{4}{3}$ ，求 $∠ A D B$ ．

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15. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A_{1} A ⊥ 底面 A B C D$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 1$ ， $A C = A A_{1} = 2 ， A D = C D = \sqrt{5}$ ，点 $E$ 为线段 $A A_{1}$ 上的点，且 $A E = \frac{1}{2}$ ．

（Ⅰ）求证： $B E ⊥$ 平面 $A C B_{1}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $D_{1} - A C - B_{1}$ 的余弦值；

（Ⅲ）判断棱 $A_{1} B_{1}$ 上是否存在点 $F$ ，使得直线 $D F ∥$ 平面 $A C B_{1}$ ，若存在，求线段 $A_{1} F$ 的长；若不存在，说明理由．

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16. 为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：

机器类型	第一类	第二类	第三类	第四类	第五类
销售总额（万元）	$100$	$50$	$200$	$200$	$120$
销售量（台）	$5$	$2$	$10$	$5$	$8$
利润率	$0.4$	$0.2$	$0.15$	$0.25$	$0.2$

利润率是指：一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值．

（Ⅰ）从该公司本月卖出的机器中随机选一台，求这台机器利润率高于0.2的概率；

（Ⅱ）从该公司本月卖出的销售单价为20万元的机器中随机选取 $2$ 台，求这两台机器的利润率不同的概率；

（Ⅲ）假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利 $x_{1}$ 万元，销售一台第二类机器获利 $x_{2}$ 万元，…，销售一台第五类机器获利 $x_{5}$ ，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为 $E x$ ，设 $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}}{5}$ ，试判断 $E x$ 与 $\bar{x}$ 的大小．（结论不要求证明）

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17. 设函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + (4 a - 2) x + 4 a - 6}{e^{x}}$ ．
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $y = 1$ 平行，求 $a$ ；

（Ⅱ）若 $f (x)$ 在 $a = - 1$ 处取得极大值，求 $a$ 的取值范围．

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18. 已知椭圆 $M$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的长轴长为 $6$ 且经过点 $P (1, \frac{8}{3})$ ，过点 $P$ 并且倾斜角互补的两条直线 $l_{1}, l_{2}$ 与椭圆 $M$ 的交点分别为 $B, C$ （点 $B$ 在点 $C$ 的左侧），点 $E (- 7, 0)$ .
（Ⅰ）求椭圆 $M$ 的方程；

（Ⅱ）求证：四边形 $P E B C$ 为梯形.

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19. 设 $n$ 为正整数，集合 $A = {T / T = (t_{1}, t_{2}, ... t_{n}), t_{k} \in {0, 1}, k = 1, 2, ..., n}$ ．对于集合 $A$ 中的任意元素 $X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 和 $Y = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ ，记 $d (X, Y) = \frac{1}{2} [(| x_{1} + y_{1} | + | x_{1} - y_{1} |) + (| x_{2} + y_{2} | + | x_{2} - y_{2} |) + \dots + (| x_{n} + y_{n} | + | x_{n} - y_{n} |)]$ ．
（Ⅰ）当 $n = 3$ 时，若 $X = (1, 1, 0)$ ， $Y = (0, 1, 1)$ ，求 $d (X, X)$ 和 $d (X, Y)$ 的值；

（Ⅱ）当 $n = 4$ 时，设 $B$ 是 $A$ 的子集，且满足：对于 $B$ 中的任意元素 $X, Y$ ，当 $X, Y$ 相同时， $d (X, Y)$ 是偶数；当 $X, Y$ 不同时， $d (X, Y)$ 是奇数．求集合 $B$ 中元素个数的最大值；

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