北京市西城区2019年高考数学三模试卷

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 2 < x < a}$ ， $B = {0, 2, 4}$ ，若集合 $A \cap B$ 中有且仅有2个元素，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(2, 4]$ C、 $[4, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0)$

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2. 设命题 $p$ ： $\forall a, b \in R$ ， $| a - b | < | a | + | b |$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall a, b \in R$ ， $| a - b | \geq | a | + | b |$ B、 $\exists a, b \in R$ ， $| a - b | < | a | + | b |$ C、 $\exists a, b \in R$ ， $| a - b | > | a | + | b |$ D、 $\exists a, b \in R$ ， $| a - b | \geq | a | + | b |$

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3. 以 $A (3, - 1)$ ， $B (- 2, 2)$ 为直径的圆的方程是（）

A、 $x^{2} + y^{2} - x - y - 8 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - x - y - 9 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} + x + y - 8 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} + x + y - 9 = 0$

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4. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是非零向量，若对于任意的 $λ \in R$ ，都有 $| \vec{a} - \vec{b} | \leq | \vec{a} - λ \vec{b} |$ 成立，则（）

A、 $a / / b$ B、 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ C、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ D、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$

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5. 设 $a \in R$ ， $b > 0$ ，则“ $3^{a} > 2 b$ ”是“ $a > \log_{3} b$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且 $f (x + 2) = - f (x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $R$ B、 $f (x)$ 为周期函数，且6为其一个周期 C、 $f (x)$ 的图像关于 $x = 2$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的零点有无穷多个

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7. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = 60^{\circ}$ ，则 $| \vec{a} + t \vec{b} |$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{2}, + \infty)$ B、 $[\sqrt{3}, + \infty)$ C、 $[\sqrt{2}, 6]$ D、 $[\sqrt{3}, 6]$

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8. 设 $a = {0.82}^{0.5}$ ， $b = \sin 1$ ， $c = \lg 3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 三数的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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9. 如图，设 $P$ 为 $Δ A B C$ 内一点，且 $\overset{⇀}{A P} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ ，则 $Δ A B P$ 与 $Δ A B C$ 的面积之比为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，平面 $α$ 与此正方体相交.对于实数 $d (0 < d < \sqrt{3})$ ，如果正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的八个顶点中恰好有 $m$ 个点到平面 $α$ 的距离等于 $d$ ，那么下列结论中，一定正确的是（）

A、 $m \neq 6$ B、 $m \neq 5$ C、 $m \neq 4$ D、 $m \neq 3$

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二、填空题

11. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 3 x - 2 y + 4 \geq 0 ， \\ x + 4 y + 6 \geq 0 ， \\ x - 2 \leq 0 ， \end{matrix}$ ，则 $z = x^{2} + y^{2}$ 的最大值为.

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12. 在某批次的某种灯泡中，随机抽取200个样品.并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下：

寿命（天）	频数	频率
$[200, 300)$	40	$a$
$[300, 400)$	60	0.3
$[400, 500)$	$b$	0.4
$[500, 600)$	20	0.1
合计	200	1

某人从灯泡样品中随机地购买了 $n (n \in N *)$ 个，如果这 $n$ 个灯泡的寿命情况恰好与按四个组分层抽样所得的结果相同，则 $n$ 的最小值为.

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13. 能说明“若 $f (x + 1) < f (x)$ 对于任意的 $x \in (0, + \infty)$ 都成立，则 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数”为假命题的一个函数是.

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14. 能说明“在数列 ${a_{n}}$ 中，若对于任意的 $m, n \in N^{+}$ ， $a_{m + n} > a_{m} + a_{n}$ ，则 ${a_{n}}$ 为递增数列”为假命题的一个等差数列是.（写出数列的通项公式）

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15. 某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为.

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16. 现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种.（用数字作答）

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17. 甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是.

	甲获奖	乙获奖	丙获奖	丁获奖
甲的猜测	√	×	×	√
乙的猜测	×	○	○	√
丙的猜测	×	√	×	√
丁的猜测	○	○	√	×

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = (1 + \sqrt{3} \tan x) \cos^{2} x$ .
（Ⅰ）若 $α$ 是第二象限角，且 $\sin α = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $f (α)$ 的值；

（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的定义域和值域.

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19. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $A A_{1} = 3$ ，过顶点 $A$ ， $C_{1}$ 的平面与棱 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ 分别交于 $M$ ， $N$ 两点（不在棱的端点处）.

(1)、求证：四边形 $A M C_{1} N$ 是平行四边形；

(2)、求证： $A M$ 与 $A N$ 不垂直；

(3)、若平面 $A M C_{1} N$ 与棱 $B C$ 所在直线交于点 $P$ ，当四边形 $A M C_{1} N$ 为菱形时，求 $P C$ 长.

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20. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，平面 $A_{1} D B_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ .过顶点 $D$ ， $B_{1}$ 的平面与棱 $B C$ ， $A_{1} D_{1}$ 分别交于 $M$ ， $N$ 两点.

（Ⅰ）求证： $A D ⊥ D B_{1}$ ；

（Ⅱ）求证：四边形 $D M B_{1} N$ 是平行四边形；

（Ⅲ）若 $A_{1} D ⊥ C D$ ，试判断二面角 $D - M B_{1} - C$ 的大小能否为 $45 °$ ？说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a \ln x}{x + 1} + \frac{b}{x}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $x + 2 y - 3 = 0$ .
（Ⅰ）求 $a$ ， $b$ 的值；

（Ⅱ）若 $k \leq 0$ ，求证：对于任意 $x \in (1 ， + \infty)$ ， $f (x) > \frac{\ln x}{x - 1} + \frac{k}{x}$ .

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22. 设 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点， $P$ ， $Q$ 为抛物线 $C$ 上的两个动点， $O$ 为坐标原点.
（Ⅰ）若点 $F$ 在线段 $P Q$ 上，求 $| P Q |$ 的最小值；

（Ⅱ）当 $O P ⊥ P Q$ 时，求点 $Q$ 纵坐标的取值范围.

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23. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右顶点为 $A$ ，点 $P$ 在 $y$ 轴上，线段 $A P$ 与椭圆 $C$ 的交点 $B$ 在第一象限，过点 $B$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相切，且直线 $l$ 交 $x$ 轴于 $M$ .设过点 $A$ 且平行于直线 $l$ 的直线交 $y$ 轴于点 $Q$ .
（Ⅰ）当 $B$ 为线段 $A P$ 的中点时，求直线 $A B$ 的方程；

（Ⅱ）记 $Δ B P Q$ 的面积为 $S_{1}$ ， $Δ O M B$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $S_{1} + S_{2}$ 的最小值.

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