内蒙古包头市2019届高三理数二模考试试卷

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{1}{1 - i} - \frac{1}{1 + i}$ 的共轭复数是（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、1 D、-1

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x = 0, x \in R}$ ，则满足 $A \cup B = {0, - 1, 1}$ 的集合 $B$ 的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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3. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3}$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{7}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、-2 B、1 C、-1 D、2

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4. 定义运算 $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$ ，则函数 $f (x) = | \begin{matrix} \frac{1}{2} & \sin x \\ 1 & x \end{matrix} |$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知圆 $C$ : $x^{2} + y^{2} = 1$ ，定点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，直线 $l$ : $x_{0} x + y_{0} y = 1$ ，则“点 $P$ 在圆 $C$ 外”是“直线 $l$ 与圆 $C$ 相交”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 某程序框图如图所示，若输入的 $N = 6$ ，则输出的值是（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{6}{7}$

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7. 在公差不等于零的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 4$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{9}$ 成等比数列，则 $a_{8} =$ （）

A、4 B、18 C、24 D、16

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8. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $E$ 的左右焦点，点 $M$ 在 $E$ 上（不与顶点重合）， $Δ M F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

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9. 若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{80}{3}$ B、 $\frac{60}{3}$ C、 $\frac{50}{3}$ D、 $\frac{40}{3}$

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10. 若 ${(a x^{2} - \frac{1}{x})}^{9}$ 的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（）

A、672 B、-672 C、5376 D、-5376

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} \frac{x}{2} + \sin^{2} \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x$ ，则 $f (x)$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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12. 将边长为2的正方形 $A A_{1} O_{1} O$ (及其内部)绕 $O O_{1}$ 旋转一周形成圆柱，点 $B$ ､ $C$ 分别是圆 $O$ 和圆 $O_{1}$ 上的点， $\overset{⌢}{A B}$ 长为 $\frac{2 π}{3}$ ， $\overset{⌢}{A_{1} C}$ 长为 $\frac{4 π}{3}$ ，且 $B$ 与 $C$ 在平面 $A A_{1} O_{1} O$ 的同侧，则 $A_{1} O_{1}$ 与 $B C$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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二、填空题

13. 向平面区域 ${(x ， y) | 0 \leq x \leq 1 ， 0 \leq y \leq 1}$ 内随机投入一点，则该点落在曲线 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 下方的概率为.

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14. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 1 \geq 0 \\ y - x - 1 \leq 0 \\ x \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + 3 y$ 的取值范围是.

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15. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} - S_{4} = 3$ ， $S_{3} = \frac{9}{2}$ ， $S_{n} = 22$ ，则 $n =$ .

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16. 若直线 $y = k x$ 既是曲线 $y = e^{x} - 1$ 的切线，又是曲线 $y = \ln (x + b)$ 的切线，则 $b =$ .

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b + 2 c \cos A = 0$ .

(1)、若 $b = c = 1$ ，求 $a$ 和 $S_{Δ A B C}$ ；

(2)、求 $\cos B$ 的最小值.

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18. 一只红玲虫的产卵数

y

和温度

t

有关.现收集了7组观测数据如下表：

温度 $t / ° C$	21	23	25	27	29	32	35
产卵数 $y$ /个	7	11	21	24	66	115	325

为了预报一只红玲虫在 $40 °$ 时的产卵数，根据表中的数据建立了 $y$ 与 $t$ 的两个回归模型.模型①：先建立 $y$ 与 $t$ 的指数回归方程 ${\hat{y}}^{(1)} = e^{0.272 t - 3.849}$ ，然后通过对数变换 $u = \ln y$ ，把指数关系变为 $u$ 与 $t$ 的线性回归方程： ${\hat{u}}^{(1)} = 0.272 t - 3.849$ ；模型②：先建立 $y$ 与 $t$ 的二次回归方程 ${\hat{y}}^{(2)} = 0.367 t^{2} - 202.543$ ，然后通过变换 $x = t^{2}$ ，把二次关系变为 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程： ${\hat{y}}^{(2)} = 0.367 x - 202.543$ .

(1)、分别利用这两个模型，求一只红玲虫在

40 °

时产卵数的预测值；

(2)、你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据：模型①的残差平方和

Q_{1} = 1550.538

，模型①的相关指数

R_{1}^{2} = 0.98

；模型②的残差平方和

Q_{2} = 15448.431

，模型②的相关指数

R_{2}^{2} = 0.8

；

e^{7.031} = 1131

，

e^{7} = 1096

，

e^{8} = 2981

；

\ln 7 = 1.946

，

\ln 11 = 2.398

，

\ln 21 = 3.045

，

\ln 24 = 3.178

，

\ln 66 = 4.190

，

\ln 115 = 4.745

，

\ln 325 = 5.784

）

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B / / C D$ ， $A B = 2$ ， $A D = C D = 1$ ， $E$ 是 $P B$ 上一点.

(1)、求证：平面 $E A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $E$ 是 $P B$ 的中点，且二面角 $P - A C - E$ 的余弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求直线 $P A$ 与平面 $E A C$ 所成角的正弦值.

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20. 设 $F$ 为抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ 的焦点， $A$ 是 $C$ 上一点， $F A$ 的延长线交 $y$ 轴于点 $B$ ， $A$ 为 $F B$ 的中点，且 $| F B | = 3$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $l_{2}$ 与 $C$ 交于 $D$ ， $E$ 两点，求四边形 $M D N E$ 面积的最小值.

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21. $e$ 是自然对数的底数，已知函数 $f (x) = x (x - 2) e^{x}$ ， $x \in R$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最小值；

(2)、函数 $g (x) = f (x) - f (- \sqrt{2})$ 在 $R$ 上能否恰有两个零点?证明你的结论.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 - t \\ y = 1 + t \end{matrix}$ ，（ $t$ 为参数），在以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C ： ρ = 2 \sqrt{2} cos (θ - \frac{π}{4})$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、求曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最大值.

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23. 设函数 $f (x) = | x + 1 | - 2 | x - 1 |$ .

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、当 $x \in (- \infty ， 0]$ 时， $f (x) \leq a x + b$ ，求 $a-b$ 的最大值.

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