吉林省2019届普通高中高三理数第三次联合模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2, 0, 1, 3}$ ， $B = {x | - \sqrt{5} < x < \sqrt{3}}$ ，则集合 $A \cap B$ 子集的个数为（）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $16$ D、 $32$

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2. 已知 $m \in R$ ，复数 $z_{1} = 1 + 3 i$ ， $z_{2} = m + 2 i$ ，且 $z_{1} \cdot {\bar{z}}_{2}$ 为实数，则 $m =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、3 D、-3

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3. 新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（）

A、2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加 B、2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍 C、2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍 D、2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前13项和为52，则 ${(- 2)}^{a_{6} + a_{8}} =$ （）

A、256 B、-256 C、32 D、-32

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5. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若存在点 $P$ 满足 $| P F_{1} | : | P F_{2} | : | F_{1} F_{2} | = 4 : 6 : 5$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、5

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6. 函数 $y = \frac{ln x^{4}}{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 在菱形 $A B C D$ 中， $A C = 4$ ， $B D = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，则 $\vec{D E} \cdot \vec{D F} =$ （）

A、 $- \frac{13}{4}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、5 D、 $\frac{15}{4}$

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8. 已知函数 $f (x) = A \cos (2 x + φ) (φ > 0)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度后，得到的图像关于 $y$ 轴对称， $f (0) = 1$ ，当 $φ$ 取得最小值时，函数 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = \sqrt{2} \cos (2 x + \frac{π}{4})$ B、 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{4})$ C、 $f (x) = \sqrt{2} \cos (2 x - \frac{π}{4})$ D、 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{4})$

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9. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、240 B、264 C、274 D、282

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10. 已知数列 ${\frac{1}{a_{n}} - 1}$ 是公比为 $\frac{1}{3}$ 的等比数列，且 $a_{1} > 0$ ，若数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，则 $a_{1}$ 的取值范围为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(0, 1)$

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11. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，其中点 $A$ 在第一象限，若弦 $A B$ 的长为 $\frac{25}{4}$ ，则 $\frac{| A F |}{| B F |} =$ （）

A、2或 $\frac{1}{2}$ B、3或 $\frac{1}{3}$ C、4或 $\frac{1}{4}$ D、5或 $\frac{1}{5}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 3 x + 5$ ， $g (x) = a x - \ln x$ ，若对 $\forall x \in (0 ， e)$ ， $\exists x_{1} ， x_{2} \in (0 ， e)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得 $f (x) = g (x_{i}) (i = 1 ， 2)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e} ， \frac{6}{e})$ B、 $[\frac{1}{e} ， e^{\frac{7}{4}})$ C、 $(0 ， \frac{1}{e}] \cup [\frac{6}{e} ， e^{\frac{7}{4}})$ D、 $[\frac{6}{e} ， e^{\frac{7}{4}})$

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二、填空题

13. 在区间 $[- 6, 2]$ 内任意取一个数 $x_{0}$ ，则 $x_{0}$ 恰好为非负数的概率是.

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14. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} y \leq x \\ x - 4 y - 3 \leq 0 \\ 2 x + y - 6 \leq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = x + 2 y - 1$ 的最小值为．

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15. 某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有种.

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16. 在四面体 $A B C D$ 中， $Δ A B D$ 与 $Δ B D C$ 都是边长为2的等边三角形，且平面 $A B D ⊥$ 平面 $B D C$ ，则该四面体外接球的体积为．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且 $2 \sin^{2} (B + C) - 3 \cos A = 0$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $B = \frac{π}{4}, a = 2 \sqrt{3}$ ，求边长 $c$ .

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $B C ⊥ B B_{1}$ ， $C C_{1} = \sqrt{2}$ ， $A C_{1} = \sqrt{6}$ .

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、 $M$ ， $N$ 分别是 $B C$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $A C_{1}$ 上的动点，若二面角 $P - M N - C$ 的平面角的大小为 $30 °$ ，试确定点 $P$ 的位置.

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19. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的 $n (n \in N^{*})$ 个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.

(1)、当 $n$ 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？

(2)、当 $n = 4$ 时，用 $X$ 表示要补播种的坑的个数，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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20. 已知△ABC的两个顶点A ， B的坐标分别为( $- \sqrt{2}$ ，0)，( $\sqrt{2}$ ，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC ， BC ， AB上的切点分别为P ， Q ， R ， |CP|=2 $- \sqrt{2}$ ，动点C的轨迹为曲线G.

(1)、求曲线G的方程；

(2)、设直线l与曲线G交于M ， N两点，点D在曲线G上， $O$ 是坐标原点 $\vec{O M} + \vec{O N} = \vec{O D}$ ，判断四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x - a} - \ln (x + a) (a > 0)$ .

(1)、证明：函数 $f^{'} (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上存在唯一的零点；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上的最小值为1，求 $a$ 的值.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \cos α \\ y = - 2 + t \sin α \end{array}$ （ $t$ 为参数， $0 \leq α < π$ ），点 $M (0, - 2)$ .以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \sqrt{2} \cos (θ + \frac{π}{4})$ .

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程，并指出其形状；

(2)、曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\frac{1}{| M A |} + \frac{1}{| M B |} = \frac{\sqrt{17}}{4}$ ，求 $\sin α$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | 2 x - 5 | (a > 0)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) \geq 5$ ；

(2)、当 $x \in [a, 2 a - 2]$ 时，不等式 $f (x) \leq | x + 4 |$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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