吉林省2019届普通高中高三文数第三次联合模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若 $z = (m^{2} + m - 6) + (m - 2) i$ 为纯虚数，则实数 $m$ 的值为（）

A、-2 B、2 C、-3 D、3

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2. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{x}}$ ， $B = {x | x^{2} - 8 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(2 \sqrt{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2 \sqrt{2})$ C、 $(0, 2 \sqrt{2})$ D、 $[0, 2 \sqrt{2})$

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3. 新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（）

A、2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加 B、2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍 C、2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍 D、2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一

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4. 设正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2} = 3, S_{4} = 15$ ，则公比 $q =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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5. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} y \leq x ， \\ x - 4 y - 3 \leq 0 ， \\ 2 x + y - 6 \leq 0 ， \end{array}$ ，则目标函数 $z = x + 2 y$ 的最大值为（）

A、 $- 3$ B、3 C、6 D、8

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6. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若存在点 $P$ 满足 $| P F_{1} | : | P F_{2} | : | F_{1} F_{2} | = 4 : 6 : 5$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、5

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7. 已知函数 $f (x) = A \cos (2 x + φ) (φ > 0)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度后，得到的图像关于 $y$ 轴对称， $f (0) = 1$ ，当 $φ$ 取得最小值时，函数 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = \sqrt{2} \cos (2 x + \frac{π}{4})$ B、 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{4})$ C、 $f (x) = \sqrt{2} \cos (2 x - \frac{π}{4})$ D、 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{4})$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ，且满足 $f (x) = \cos x - x f' (\frac{π}{2})$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线为 $l$ ，则下列直线中与直线 $l$ 垂直的是（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $2 x + y + 1 = 0$ C、 $x - 2 y - 2 = 0$ D、 $x + 2 y + 1 = 0$

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9. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $a$ ， $b$ 分别是1，2048，则输出的 $i =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、8

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10. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（）

A、2 B、5 C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{22}$

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11. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，其中点 $A$ 在第一象限，若弦 $A B$ 的长为 $\frac{25}{4}$ ，则 $\frac{| A F |}{| B F |} =$ （）

A、2或 $\frac{1}{2}$ B、3或 $\frac{1}{3}$ C、4或 $\frac{1}{4}$ D、5或 $\frac{1}{5}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且图象关于点 $(3 ， 0)$ 对称，且当 $x \in (0 ， 3)$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - 1$ ，则函数 $f (x)$ 在区间 $[2013 ， 2018]$ 上的（）

A、最小值为 $- \frac{3}{4}$ B、最小值为 $- \frac{7}{8}$ C、最大值为0 D、最大值为 $\frac{7}{8}$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a \log_{3} x, x > 0 \\ 1 - x, x \leq 0 \end{array}$ ，若 $f [f (- 2)] = - 2$ ，则 $a =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $2 \vec{a} + \vec{b} = (1, 2 m)$ ， $\vec{b} = (1, m)$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影是 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则实数 $m =$ ．

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15. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ，且对于任意的 $n \in N^{*}$ 都有， $a_{n + 1} - a_{n} = n + 2$ ，则 $a_{39} =$ ．

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16. 在四面体 $A B C D$ 中， $Δ A B D$ 与 $Δ B D C$ 都是边长为2的等边三角形，且平面 $A B D ⊥$ 平面 $B D C$ ，则该四面体外接球的体积为．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且 $2 \sin^{2} (B + C) - 3 \cos A = 0$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $B = \frac{π}{4}, a = 2 \sqrt{3}$ ，求边长 $c$ .

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18. 某省确定从2021年开始，高考采用“

3 + 1 + 2

”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目.某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取

n

名学生进行调查.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、已知抽取的

n

名学生中含男生110人，求

n

的值及抽取到的女生人数；

(2)、学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的

n

名学生进行问卷调杳（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）.下表是根据调查结果得到的

2 \times 2

列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有

99.5 %

的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

性别	选择物理	选择历史	总计
男生		50
女生	30
总计

(3)、在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.

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19. 在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ B A D = ∠ B C D = 90^{°} ， ∠ A D C = 60^{°}$ 且 $A D = C D ， B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C D ， B B_{1} = 2 A B = 2$ .

(1)、证明： $A C ⊥ B_{1} D$ ；

(2)、求三棱锥 $C_{1} - B_{1} B D$ 的体积.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆过点 $(\sqrt{2}, 1)$

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点，点 $D$ 在椭圆 $C$ 上， $O$ 是坐标原点，若 $\overset{⇀}{O M} + \overset{⇀}{O N} = \overset{⇀}{O D}$ ，判定四边形 $O M D N$ 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x - a ln x - b$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

(2)、若 $\forall x > 0$ ， $f (x) \geq 0$ ，求 $a b$ 的最大值.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \cos α \\ y = - 2 + t \sin α \end{array}$ （ $t$ 为参数， $0 \leq α < π$ ），点 $M (0, - 2)$ .以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \sqrt{2} \cos (θ + \frac{π}{4})$ .

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程，并指出其形状；

(2)、曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\frac{1}{| M A |} + \frac{1}{| M B |} = \frac{\sqrt{17}}{4}$ ，求 $\sin α$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | 2 x - 5 | (a > 0)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) \geq 5$ ；

(2)、当 $x \in [a, 2 a - 2]$ 时，不等式 $f (x) \leq | x + 4 |$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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