晋冀鲁豫中原名校2019年高三文数第三次联考试卷

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 4}, B = {x | x < 2 - x}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 2}$ B、 ${x | x < 2}$ C、 ${x | x > - 1}$ D、 ${x | x > - 2}$

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2. 设 $i$ 为虚数单位，则 $(1 - i^{3}) (1 - 2 i) =$ （）

A、 $- 3 - i$ B、 $- 3 + i$ C、 $3 - i$ D、 $3 + i$

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3. 已知 $α$ 是第四象限角， $\sin α = - \frac{3}{5}$ ，则 $\tan (\frac{π}{4} - α) =$ （）

A、 $- 5$ B、 $5$ C、 $- 7$ D、 $7$

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4. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 2 y + 1 \leq 0 \\ 3 x - 2 y + 3 \geq 0 \\ 3 x + y - 6 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 的最小值为（）

A、 $1$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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5. 已知 $3^{a} = e$ ， $b = \log_{3} 5 - \log_{3} 2$ ， $c = 2 \ln \sqrt{3}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 $a$ ，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为 $3 + \sqrt{2}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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7. 1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形 $A B C D$ 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设 $∠ B E C = 15 °$ ，在梯形 $A B C D$ 中随机取一点，则此点取自等腰直角 $Δ C D E$ 中（阴影部分）的概率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 若函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 1$ 在区间 $(0, + \infty)$ 内有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, 2)$

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9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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10. 已知圆 $C$ 的方程为 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ ，点 $P$ 在直线 $y = x + 3$ 上，线段 $A B$ 为圆 $C$ 的直径，则 $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、 $\frac{7}{2}$

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $Q$ 是线段 $C_{1} D_{1}$ 上的动点，点 $P$ 为正方体对角线 $A C_{1}$ 上的动点，若三棱锥 $A_{1} - B_{1} P Q$ 的体积为正方体体积的 $\frac{1}{9}$ ，则直线 $A_{1} P$ 与底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角的正切值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $| P F_{1} | : | P Q | : | Q F_{1} | = 2 : 3 : 4$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ C、 $\frac{\sqrt{51}}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{6}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (x, 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (4, - 2)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ∥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | =$ .

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14. 函数 $y = 2 \sin^{2} x - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x (0 \leq x \leq \frac{π}{2})$ 的值域为.

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15. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b \cos Ccos A + c \cos A \cos B = \frac{a}{2}$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $Δ A B C$ 周长的最小值为.

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16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ，满足 $f' (x) < f (x)$ ，且 $f (x + 2)$ 为偶函数， $f (4) = 2$ ，则不等式 $f (x) < 2 e^{x}$ 的解集为.

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三、解答题

17. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 18$ ， $S_{4} = 90$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 15 - \log_{2} (\frac{1}{3} a_{n})$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 及 $T_{n}$ 的最大值.

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18. 某企业购买某种仪器，在仪器使用期间可能出现故障，需要请销售仪器的企业派工程师进行维修，因为考虑到人力、成本等多方面的原因，销售仪器的企业提供以下购买仪器维修服务的条件：在购买仪器时，可以直接购买仪器维修服务，维修一次1000元；在仪器使用期间，如果维修服务次数不够再次购买，则需要每次1500元..现需决策在购买仪器的同时购买几次仪器维修服务，为此搜集并整理了500台这种机器在使用期内需要维修的次数，得到如下表格：

维修次数

5

6

7

8

9

频数（台）

50

100

150

100

100

记 $x$ 表示一台仪器使用期内维修的次数， $y$ 表示一台仪器使用期内维修所需要的费用， $n$ 表示购买仪器的同时购买的维修服务的次数.

(1)、若 $n = 6$ ，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、以这500台仪器使用期内维修次数的频率代替一台仪器维修次数发生的概率，求 $6 \leq x \leq 8$ 的概率.

(3)、假设购买这500台仪器的同时每台都购买7次维修服务，或每台都购买8次维修服务，请分别计算这500台仪器在购买维修服务所需要费用的平均数，以此为决策依据，判断购买7次还是8次维修服务？

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19. 如图，在多面体 $A B C D F E$ 中， $A B ∥ C D ∥ E F$ ，四边形 $A B C D$ 和四边形 $A B E F$ 是两个全等的等腰梯形.

(1)、求证：四边形 $C D F E$ 为矩形；

(2)、若平面 $A B E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $C D = 6$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ，求多面体 $A B C D F E$ 的体积.

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20. 已知椭圆 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，点F为抛物线的焦点，焦点F到直线3x-4y+3=0的距离为d₁ ，焦点F到抛物线C的准线的距离为d₂ ，且 $\frac{d_{1}}{d_{2}} = \frac{3}{5}$ 。

(1)、抛物线C的标准方程;

(2)、若在x轴上存在点M，过点M的直线l分别与抛物线C相交于P、Q两点，且 $\frac{1}{{| P M |}^{2}} + \frac{1}{{| Q M |}^{2}}$ 为定值，求点M的坐标.

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21. 已知函数 $f (x) = x - 1 - \ln x - a {(x - 1)}^{2} (a \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若对 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在极坐标系中， $O$ 为极点，点 $A (\sqrt{2}, \frac{π}{4})$ ，点 $B (\sqrt{2}, \frac{7 π}{4})$ .

(1)、以极点为坐标原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求经过 $O$ ， $A$ ， $B$ 三点的圆 $M$ 的直角坐标方程；

(2)、在（1）的条件下，圆 $N$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 2 ρ \sin θ + 1 - a^{2} = 0 (a > 0)$ ，若圆 $M$ 与圆 $N$ 相切，求实数 $a$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = x^{2} - | x + 1 | - | x - 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集 $A$ ；

(2)、在（1）的条件下，若 $a, b \in A$ ，求证： $2 | a + b | \leq | a b + 4 |$ .

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维修次数	5	6	7	8	9
频数（台）	50	100	150	100	100