吉林省五地六校联考2019届高三理数考前适应卷

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 2}$ ，则 $C_{R} A =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x ⩽ 2}$ B、 ${x | x \leq - 2$ 或 $x ⩾ 2}$ C、 ${x | - \sqrt{2} ⩽ x ⩽ \sqrt{2}}$ D、 ${x | x ⩽ - \sqrt{2}$ 或 $x \geq \sqrt{2}}$

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2. 若 $a$ ， $b$ 均为实数，且 $\frac{a + b i}{1 - i} = 2 + i^{3}$ ，则 $a b =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $- 3$ D、 $3$

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3. 函数 $f (x) = (2^{x} + 2^{- x}) \ln | x |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的准线 $l$ 与圆 $M$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ 相切，则 $p =$ （）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $3$ D、 $4$

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} = 2$ ， $a_{2} = 2$ ，则 $S_{3} =$ （）

A、 $8$ B、 $7$ C、 $6$ D、 $4$

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6. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = \sqrt{2}$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 1$ ，且 $| \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{a} | = 2$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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7. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（）（参考数据： $\frac{\sqrt{3}}{0.8269} \approx 2.0946$ ）

A、3.1419 B、3.1417 C、3.1415 D、3.1413

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8. 已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，且对 $x \in R$ ， $f (x) ⩾ f (\frac{π}{3})$ 恒成立，若函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， a]$ 上单调递减，则 $a$ 的最大值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9. 已知函数 $f (x) = 2^{| x |} + x^{2}$ ，设 $m = f (\log_{2} \frac{1}{3})$ ， $n = f (7^{- 0.1})$ ， $p = f (\log_{4} 25)$ ，则 $m$ ， $n$ ， $p$ 的大小关系为（）

A、 $m > p > n$ B、 $p > n > m$ C、 $p > m > n$ D、 $n > p > m$

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10. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，所有侧棱都为 $4 \sqrt{2}$ ，底面是边长为 $2 \sqrt{6}$ 的正方形， $O$ 是 $P$ 在平面 $A B C D$ 内的射影， $M$ 是 $P C$ 的中点，则异面直线 $O P$ 与 $B M$ 所成角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且斜率为 $\frac{24}{7}$ 的直线与双曲线在第一象限的交点为 $A$ ，若 $(\overset{⇀}{F_{2} F_{1}} + \overset{⇀}{F_{2} A}) \cdot \overset{⇀}{F_{1} A} = 0$ ，则此双曲线的标准方程可能为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

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二、填空题

12. 现有正整数构成的数表如下：
第一行：1

第二行：12

第三行：1123

第四行：11211234

第五行：1121123112112345

…

第k行：先抄写第1行，接着按原序抄写第2行，然后按原序抄写第3行，…，直至按原序抄写第k﹣1行，最后添上数k．（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）．将按照上述方式写下的第n个数记作 $a_{n}$ （如 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 1 ， a_{3} = 2 ， a_{4} = 1 ， \dots ， a_{7} = 3 ， \dots ， a_{14} = 3 ， a_{15} = 4$ ，…），用 $t_{k}$ 表示数表第 $k$ 行的数的个数，求数列{ $t_{k}$ }的前 $k$ 项和 $T_{k}$ =

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13. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 ⩾ 0 \\ y + 2 ⩾ 0 \\ x + 2 y - 6 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最小值是.

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14. 某公司对2019年1~4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：

月份 $x$

1

2

3

4

利润 $y$ /万元

5

6

6.5

8

利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为.

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15. 若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为.

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16. 若函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ 有极值点，则 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $b \sin B + c \sin C = a (\frac{\sqrt{2} \sin B \sin C}{\sin A} + \sin A)$ .

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $A_{1} D$ 与 $A D_{1}$ 交于点 $E$ ， $A A_{1} = A D = 2 A B = 4$ ．

(1)、证明： $A E ⊥$ 平面 $E C D$ ．

(2)、求直线 $A_{1} C$ 与平面 $E A C$ 所成角的正弦值．

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19. 某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：
方案一：软件服务公司每日收取工厂 $60$ 元，对于提供的软件服务每次 $10$ 元；

方案二：软件服务公司每日收取工厂 $200$ 元，若每日软件服务不超过 $15$ 次，不另外收费，若超过 $15$ 次，超过部分的软件服务每次收费标准为 $20$ 元．

(1)、设日收费为 $y$ 元，每天软件服务的次数为 $x$ ，试写出两种方案中 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、该工厂对过去 $100$ 天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点（点 $P$ ， $Q$ 均在第一象限）， $O$ 为坐标原点，证明：直线 $O P$ ， $P Q$ ， $O Q$ 的斜率依次成等比数列．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = x - 1$ .

(1)、当 $k$ 为何值时，直线 $y = g (x)$ 是曲线 $y = k f (x)$ 的切线；

(2)、若不等式 $g (\sqrt{x}) ⩾ a f (x)$ 在 $[1 ， e]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \cos (θ + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ - 6 \cos θ = 0$ ．

(1)、求直线 $l$ 和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $M (1, 0)$ ，若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，求 ${| M P |}^{2} + {| M Q |}^{2}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) + f (x - 2) < x + 4$ 的解集；

(2)、若 $\forall x \in R$ ，使得 $f (x + a) + f (x) ⩾ f (2 a)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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月份 $x$	1	2	3	4
利润 $y$ /万元	5	6	6.5	8