山西省太原市2019届高三理数模拟试卷（一)

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {x {|log}_{2} x ⩽ 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 $(1, 2]$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 $(0, 2]$

查看试题解析
2. 已知复数 $z$ 满足 $(2 + i) z = 5$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $2-i$ D、 $1 + 2 i$

查看试题解析
3. 下列命题中的真命题是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角 B、若 $a m^{2} ⩾ b m^{2}$ ，则 $a ⩾ b$ C、若命题“ $p \lor q$ 是真命题”，则命题“ $p \land q$ 是真命题” D、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} < x_{0}^{2}$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $2^{x} ⩾ x^{2}$ ”

查看试题解析
4. 已知 $\tan α = 2, α \in (0, π)$ ，则 $\frac{\sin 2 α}{\cos (\frac{π}{2} + α)} =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = x \ln x + a$ 在 $x = e$ 处的切线经过原点，则实数 $f (1) =$ （）

A、 $e$ B、 $\frac{1}{e}$ C、1 D、0

查看试题解析
6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{5} + a_{8} = 2$ ， $a_{6} \cdot a_{7} = - 8$ 则 $a_{2} + a_{11} =$ （）

A、5 B、-5 C、7 D、-7

查看试题解析
7. 下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）

A、12 B、15 C、 $\frac{40}{3}$ D、 $\frac{50}{3}$

查看试题解析
8. 在平面区域 ${\begin{array}{l} x + y ⩽ 2 ， \\ \begin{array}{l} 2 x - y ⩾ 0 ， \\ y ⩾ 0 ， \end{array} \end{array}$ ，内任取一点 $P (x ， y)$ ，则存在 $α \in R$ ，使得点 $P$ 的坐标 $(x ， y)$ 满足 $(x - 2) \cos α + y \sin α - \sqrt{2} = 0$ 的概率为（）

A、 $1 - \frac{3 π}{16}$ B、 $\frac{3 π}{16}$ C、 $\frac{4}{3} - \frac{π}{4}$ D、 $1 - \frac{π}{16}$

查看试题解析
9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S$ 满足 $S_{n} - {(- 1)}^{n} a_{n} = 2 n - 6 + \frac{1}{2^{n}} (n \in N^{*})$ ，则 $S_{100} =$ （）

A、 $196$ B、 $200$ C、 $194 + \frac{1}{2^{100}}$ D、 $198 + \frac{1}{2^{102}}$

查看试题解析
10. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，斜率为2直线过点 $F_{1}$ 与双曲线 $C$ 在第二象限相交于点 $P$ ，若 $| O P | = | O F_{2} |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

查看试题解析
11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $2 f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，且 $f (\ln 2) = 2$ ，则 $f (\ln x) - \sqrt{2 x} > 0$ 的解集是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， \sqrt{2})$ C、 $(0 ， e)$ D、 $(0 ， \sqrt{e})$

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）满足 $f (\frac{π}{4} - x) = - f (\frac{π}{4} + x)$ ， $f (- \frac{π}{2} - x) = f (x)$ ，且在 $(0 ， \frac{π}{8})$ 上是单调函数，则 $ω$ 的值可能是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

查看试题解析

二、填空题

13. 抛物线 $y = x^{2}$ 的准线方程为.

查看试题解析
14. 已知 ${(\frac{1}{x} + \sqrt{x})}^{n}$ 的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为.

查看试题解析
15. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点 $Q$ 在棱 $A A_{1}$ 上，且 $A Q = 3 A_{1} Q$ ， $E F G C_{1}$ 是面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的正方形，且 $C_{1} E = 1$ ， $P$ 是面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点，且 $P$ 到平面 $C D D_{1} C_{1}$ 的距离等于线段 $P F$ 的长，则线段 $P Q$ 长度的最小值为.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = \ln x - b$ ， $g (x) = a x + (1 - a)$ ，其中 $a ， b \in R$ ，若 $f (x) ⩽ g (x)$ 恒成立，则当 $\frac{b}{a}$ 取最小值时， $a - b =$ .

查看试题解析

三、解答题

17. 如图，已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \sin A + (c - a) \sin C = b \sin B$ ，点 $D$ 是 $A C$ 的中点， $D E ⊥ A C$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，且 $B C = 2$ ， $D E = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
18. 如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ C D$ ，面 $C D E F$ 是菱形， $∠ D C F = 60^{°}$ ， $C D = 2 A D = 2 A B$ ， $A E = \sqrt{5} A D$ .

(1)、证明： $C E ⊥ A F$ ；

(2)、已知点 $P$ 在线段 $B C$ 上，且 $C P = λ C B$ ，若二面角 $A - D F - P$ 的大小为 $60^{°}$ ，求实数 $λ$ 的值.

查看试题解析

19. 为方便市民出行，倡导低碳出行.某市公交公司推出利用支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采用随机优惠鼓励市民扫码支付乘车.该公司某线路公交车队统计了活动推广期第一周内使用扫码支付的情况，其中

x

（单位：天）表示活动推出的天次，

y

（单位：十人次）表示当天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表1和散点图.

表1：

x	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天	第6天	第7天
y	7	12	20	33	54	90	148

参考公式：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1}) ， (u_{2} ， v_{2}) ， \dots ， (u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n u^{2}} ， \hat{α} = v - \hat{β} u$ 参考数据： $e^{5.3} = 200.33$ ， $e^{5.5} = 244.69$ ， $e^{5.7} = 298.87$ .

(1)、由散点图分析后，可用

y = e^{b x + a}

作为该线路公交车在活动推广期使用扫码支付的人次

y

关于活动推出天次

x

的回归方程，根据表2的数据，求此回归方程，并预报第8天使用扫码支付的人次（精确到整数）.

表2：

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} z_{i}$
4	52	3.5	140	2069	112

表中 $z = ln y$ ， $\bar{z} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} z_{i}$ .

(2)、推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结果如表3.

表3：

支付方式	现金	乘车卡	扫码
频率	10%	60%	30%
优惠方式	无优惠	按7折支付	随机优惠(见下面统计结果)

统计结果显示，扫码支付中享受5折支付的频率为 $\frac{1}{3}$ ，享受7折支付的频率为 $\frac{1}{2}$ ，享受9折支付的频率为 $\frac{1}{6}$ .已知该线路公交车票价为1元，将上述频率作为相应事件发生的概率，记随机变量 $ξ$ 为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入（单位：元），求 $ξ$ 的分布列和期望.

查看试题解析

20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ， $A, B$ 是其左右顶点，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上任一点，且 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的周长为6，若 $Δ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $F_{2}$ 且斜率不为0的直线交椭圆 $C$ 于 $M, N$ 两个不同点，证明：直线 $A M$ 于 $B N$ 的交点在一条定直线上.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = ln x - a x^{2} + (2 - a) x$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < - \frac{1}{2}$ ，时，若对于任意 $x_{1} ， x_{2} \in (1 ， + \infty) (x_{1} < x_{2})$ ，都存在 $x_{0} \in (x_{1} ， x_{2})$ ，使得 $f^{'} (x_{0}) = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ ，证明： $\frac{x_{1} + x_{2}}{2} < x_{0}$ .

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \cos α \\ y = 1 + t s i n α \end{array}$ ，以原点0为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$ .

(1)、若曲线 $C_{1}$ 方程中的参数是 $α$ ，且 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 有且只有一个公共点，求 $C_{1}$ 的普通方程；

(2)、已知点 $A (0 ， 1)$ ，若曲线 $C_{1}$ 方程中的参数是 $t$ ， ${\begin{cases} x = \frac{2}{\cos α} \begin{matrix} (1) \end{matrix} \\ y = \tan α \begin{matrix} (2) \end{matrix} \end{cases}$ ，且 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两个不同点，求 $\frac{1}{| A P |} + \frac{1}{| A Q |}$ 的最大值.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + 2 | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) ⩽ 5$ 的解集；

(2)、若存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) ⩽ 5 + m - m^{2}$ 成立的 $m$ 的最大值为 $M$ ，且实数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{3} + b^{3} = M$ ，证明： $0 < a + b ⩽ 2$ .

查看试题解析