山西省晋城市2019届高三理数第三次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 x^{2} - x \geq 0}$ ， $B = {y | y 〉 - 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 0]$ B、 $(- 1, \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- 1, 0] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$

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2. 若 $\frac{5 - 3 i}{1 + 2 i} = m + n i$ ，其中 $m, n \in R$ ，则 $m - n =$ （）

A、 $\frac{14}{5}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $- \frac{12}{5}$ D、 $- \frac{14}{5}$

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3. 某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如下的茎叶图，则从中任取1名员工，迟到次数在 $[20 ， 30)$ 的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{7}{20}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{17} = 272$ ，则 $a_{3} + a_{9} + a_{15} =$ （）

A、64 B、48 C、36 D、24

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5. 《九章算术》卷第七——盈不足中有如下问题：“今有垣高九尺.瓜生其上，蔓日长七寸. 瓠生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢.”翻译为“今有墙高9尺.瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸.葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺.问需要多少日两蔓相遇.”其中1尺=10寸.为了解决这一问题，设计程序框图如下所示，则输出的 $k$ 的值为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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6. 设双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，其中 $M$ 在左支上， $N$ 在右支上.若 $∠ F_{2} M N = ∠ F_{2} N M$ ，则 $| M N | =$ （）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、8 C、 $4 \sqrt{2}$ D、4

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7. 函数 $f (x) = | \sin x | + \cos 2 x$ 的值域为（）

A、 $[\frac{1}{2}, 1]$ B、 $[1, \frac{9}{8}]$ C、 $[0, 1]$ D、 $[0, \frac{9}{8}]$

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8. 如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、32 B、20 C、10 D、8

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9. 已知 $a = \ln \sqrt[3]{3}$ ， $b = e^{- 1}$ ， $c = \frac{3 \ln 2}{8}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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10. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $P$ ，点 $A$ 在抛物线 $C$ 上，过点 $A$ 作 $A A' ⊥ l$ ，垂足为 $A'$ .若四边形 $A A' P F$ 的面积为14，且 $\cos ∠ F A A' = \frac{3}{5}$ ，则抛物线 $C$ 的方程为（）

A、 $y^{2} = 8 x$ B、 $y^{2} = 4 x$ C、 $y^{2} = 2 x$ D、 $y^{2} = x$

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11. 如图所示，体积为8的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，分别过点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ， $B$ 作 $A_{1} M$ ， $C_{1} N$ ， $B P$ 垂直于平面 $A C D_{1}$ ，垂足分别为 $M$ ， $N$ ， $P$ ，则六边形 $D_{1} M A P C N$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{6}$ C、12 D、 $12 \sqrt{2}$

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12. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ，若 $f (x) < 0$ ，且 ${(\frac{1}{2})}^{\frac{f (x)}{2} + f' (x)} > 1$ ，则（）

A、 $f^{2} (3) < \frac{f^{2} (1)}{e^{2}}$ B、 $\frac{f (2)}{e} < f (1)$ C、 $\frac{f^{2} (1)}{e} < f^{2} (2)$ D、 $f (3) < e^{2} \cdot f (1)$

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二、填空题

13. 设向量 $\vec{m} = (2, 4)$ ， $\vec{n} = (- 3, λ) (λ \in R)$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $λ =$ .

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14. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 1 \\ x + 3 \geq 3 y \\ x \leq 2 y + 1 \end{array}$ ，则 $\frac{y + 1}{x - 10}$ 的取值范围为.

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15. ${(2 - 3 x)}^{2} {(1 - x)}^{7}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为.

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16. 记正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且当 $n \geq 2$ 时， $2 a_{n} = n a_{n} - (n - 1) a_{n - 1} + 7$ .若 $a_{2} = 9$ ，则 $S_{40} =$ .

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三、解答题

17. 如图所示，锐角 $Δ A B C$ 中， $A C = 5 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $C D = 3 \sqrt{2}$ ， $Δ A C D$ 的面积为 $6 \sqrt{6}$ ，延长 $B A$ 至 $E$ ，使得 $E C ⊥ B C$ .

（Ⅰ）求 $A D$ 的值；

（Ⅱ）若 $\sin ∠ B E C = \frac{2}{3}$ ，求 $A E$ 的值.

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = ∠ C A A_{1} = 90 °$ ， $A A_{1} = \sqrt{2} A B = \sqrt{2} A C = \sqrt{2} A_{1} B$ .

（Ⅰ）求证： $A_{1} B ⊥ B C$ ；

（Ⅱ）若 $M$ 是棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，求二面角 $M - A B - C$ 的余弦值.

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19. 某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分.
（Ⅰ）设消费者的年龄为 $x$ ，对该款智能家电的评分为 $y$ .若根据统计数据，用最小二乘法得到 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 1.2 x + 40$ ，且年龄 $x$ 的方差为 $s_{x}^{2} = 14.4$ ，评分 $y$ 的方差为 $s_{y}^{2} = 22.5$ .求 $y$ 与 $x$ 的相关系数 $r$ ，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱.

（Ⅱ）按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有 $99 %$ 的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.

好评

差评

青年

8

16

中老年

20

6

附：线性回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ；相关系数 $C$ ，独立性检验中的 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (b + d) (c + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

临界值表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$

0.050

0.010

0.001

$k_{0}$

3.841

6.635

10.828

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20. 已知 $Δ A B C$ 的周长为6， $B$ ， $C$ 关于原点对称，且 $B (- 1, 0)$ .点 $A$ 的轨迹为 $Γ$ .
（Ⅰ）求 $Γ$ 的方程；

（Ⅱ）若 $D (- 2, 0)$ ，直线 $l$ ： $y = k (x - 1) (k \neq 0)$ 与 $Γ$ 交于 $E$ ， $F$ 两点，若 $\frac{1}{k_{D E}}$ ， $\frac{λ}{k}$ ， $\frac{1}{k_{D F}}$ 成等差数列，求 $λ$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + a x + \frac{a + 1}{x}$ .
（Ⅰ）若 $a < 0$ ，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）若 $a \geq 0$ ，证明： $\frac{f (x) - 2 a}{x} ⩾ \frac{1}{e^{x - 1}}$ .

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22. 已知平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 3 \cos α \\ y = 1 + 3 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线 $C$ 的极坐标方程；

（Ⅱ）过点 $(- 2, 1)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 2$ ，求直线 $l$ 的方程.

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23. 已知 $f (x) = | x + m | + | 2 x - 3 |$ .
（Ⅰ）若 $m = 2$ ，求不等式 $f (x) > 6$ 的解集；

（Ⅱ）若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq | 2 x - 3 | + 3 x$ 在 $[1, 5]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

	好评	差评
青年	8	16
中老年	20	6