内蒙古呼伦贝尔市2019届高三理数模拟统一考试试卷（一)

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \log_{2} x > 1}$ ， $B = {x | x \geq 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(1, 2]$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(1, 2)$ D、 $[1, + \infty)$

查看试题解析
2. 复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = | 1 - \sqrt{3} i |$ ，则复数 $z$ 等于（）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、2 D、-2

查看试题解析
3. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{5} = 10$ ， $a_{4} = 7$ ，则数列 ${a_{n}}$ 前6项和 $S_{6}$ 为（）

A、18 B、24 C、36 D、72

查看试题解析
4. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ A B C = 60 °$ ，则 $\overset{⇀}{B D} \cdot \overset{⇀}{C D} =$ （）

A、4 B、6 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

查看试题解析
5. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为 $2 c$ ，焦点到双曲线 $C$ 的渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2} c$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm x$ D、 $y = \pm 2 x$

查看试题解析
6. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} (1 - x) & x \leq 0 \\ f (x - 5) & x > 0 \end{array}$ ，则 $f (2019) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

查看试题解析
7. 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用 $2 \times 勾 \times 股 + {(股 - 勾)}^{2} = 4 \times 朱实 + 黄实 = 弦实$ ，化简，得 $勾^{2} + 股^{2} = 弦^{2}$ .设勾股形中勾股比为 $1 ： \sqrt{3}$ ，若向弦图内随机抛掷 $1000$ 颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）

A、 $134$ B、 $866$ C、 $300$ D、 $500$

查看试题解析
8. 函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后关于原点对称，则函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上的最大值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

查看试题解析
9. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 且倾斜角为 $60 °$ 的直线交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点，以 $A F$ 、 $B F$ 为直径的圆分别与 $y$ 轴相切于点 $M$ ， $N$ ，则 $| M N | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x - \ln x - 1}$ ，则 $y = f (x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
11. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥外接球表面积是（）

A、 $4 \sqrt{3} π$ B、 $20 π$ C、 $4 π$ D、 $12 π$

查看试题解析
12. 已知 $2^{a} = 3^{b} = 6$ ，则 $a$ ， $b$ 不可能满足的关系是（）

A、 $a + b = a b$ B、 $a + b > 4$ C、 ${(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} < 2$ D、 $a^{2} + b^{2} > 8$

查看试题解析

二、填空题

13. 二项式 ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中，常数项的值为.

查看试题解析
14. 若满足 ${\begin{array}{l} x \leq 3 \\ x + y \geq 2 \\ y \leq x \end{array}$ ，则目标函数 $z = y - 2 x$ 的最大值为.

查看试题解析
15. 学校艺术节对同一类的 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“ $C$ 或 $D$ 作品获得一等奖”；乙说：“ $B$ 作品获得一等奖”；

丙说：“ $A$ ， $D$ 两项作品未获得一等奖”；丁说：“ $C$ 作品获得一等奖”．

若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是.

查看试题解析
16. 数列 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{1}$ ， $S_{m}$ ， $S_{n}$ 成等比数列 $(m > 1)$ ，则正整数 $n$ 值为.

查看试题解析

三、解答题

17. 如图：在 $Δ A B C$ 中， $a = \sqrt{10}$ ， $c = 4$ ， $\cos C = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、设 $D$ 为 $A B$ 的中点，求中线 $C D$ 的长.

查看试题解析
18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别是 $B C$ 、 $B_{1} C_{1}$ 、 $A A_{1}$ 、 $C C_{1}$ 中点.且 $A B = A C = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = A A_{1} = 4$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、求二面角 $G - E F - B_{1}$ 的余弦值.

查看试题解析

19. 诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“

\frac{周 实 际 回 收 水 费}{周 投 入 成 本}

”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：

	第一周	第二周	第三周	第四周
第一个周期	$95 %$	$98 %$	$92 %$	$88 %$
第二个周期	$94 %$	$94 %$	$83 %$	$80 %$
第三个周期	$85 %$	$92 %$	$95 %$	$96 %$

(1)、计算表中十二周“水站诚信度”的平均数

\bar{X}

；

(2)、分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量

X

表示取出的3个数中“水站诚信度”超过

91 %

的数据的个数，求随机变量

X

的分布列和期望；

(3)、已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.

查看试题解析

20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 1)$ 离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $x = 1$ 被椭圆截得的弦长为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆方程；

(2)、设直线 $y = k x + m$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点 $M$ 在直线 $x = 1$ 上，求证：线段 $A B$ 的中垂线恒过定点.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = (1 - a) (x - 1) - \ln x + 1$ ， $g (x) = x e^{1 - x}$ .

(1)、求 $g (x)$ 在区间 $(0 ， e]$ 上的值域；

(2)、是否存在实数 $a$ ，对任意给定的 $x_{0} \in (0 ， e]$ ，在 $[1 ， e]$ 存在两个不同的 $x_{i} (i = 1 ， 2)$ 使得 $f (x_{i}) = g (x_{0})$ ，若存在，求出 $a$ 的范围，若不存在，说出理由.

查看试题解析
22. 在直角坐标系中，圆 $C$ 的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = 1 + 2 \cos α \\ y = \sqrt{3} + 2 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.

(1)、求圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $l$ ： ${\begin{array}{l} x = t \cos φ \\ y = tsin φ \end{array}$ （ $t$ 为参数）被圆 $C$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的倾斜角.

查看试题解析
23. 已知 $f (x) = a - | x - b | (a > 0)$ ，且 $f (x) \geq 0$ 的解集为 ${x | - 3 \leq x \leq 7}$ .

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 的图像与直线 $x = 0$ 及 $y = m (m < 3)$ 围成的四边形的面积不小于14，求实数 $m$ 取值范围.

查看试题解析