内蒙古赤峰市2019届高三理数4月模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | {log}_{2} x \leq 1}, B = {x \in Z | x \leq 2}$ ，则 $A \cap B$ 中的元素个数为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $\bar{z} (2 + i) = 3 + 2 i$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $z$ 的共轭复数为 $\frac{8}{5} - \frac{1}{5} i$ B、 $z$ 的虚部为 $- \frac{1}{5}$ C、 $z$ 在复平面内对应的点在第二象限 D、 $| z | = \frac{9}{5}$

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3. 《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛、齐王获胜的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 若函数 $f (x) = x g (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，在 $(- \infty, 0)$ 上是增函数，且 $f (1) = 0$ ， $g (0) = 0$ ，则使得 $g (x) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ D、 $(- 1, 1)$

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5. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1, S_{8} = 17 S_{4}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $8$ B、 $- 8$ C、 $\pm 16$ D、 $16$

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6. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（）

A、 $16 π$ B、 $32 \sqrt{3} π$ C、 $48 π$ D、 $16 \sqrt{3} π$

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7. 我们可以用随机数法估计 $π$ 的值，如图，所示的程序框图表示其基本步骤（函数 $R A N D$ 是产生随机数的函数，它能随机产生 $(0 ， 1)$ 内的任何一个实数），若输出的结果为 $784$ ，则由此可估计 $π$ 的近似值为（）

A、 $3.119$ B、 $3.124$ C、 $3.136$ D、 $3.151$

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8. 某校从 $6$ 名教师中选派 $3$ 名教师去完成 $4$ 项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由 $1$ 人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是（）

A、 $252$ B、 $288$ C、 $360$ D、 $216$

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9. 已知函数 $f (x) = sin ω x - cos ω x (ω > 0)$ ，若集合 $A = {x \in [0, π) | f (x) = - 1}$ 只含有 $3$ 个元素，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{2}, 2]$ B、 $[\frac{3}{2}, 2]$ C、 $(2, \frac{13}{4}]$ D、 $(2, \frac{7}{2}]$

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10. 如果底面是菱形的直棱柱（侧棱柱与底面垂直的棱柱） $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长都相等， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $E ， M ， N$ 分别为 $A B ， B C ， C C_{1}$ 的中点，现有下列四个结论：① $C E ⊥$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$ ② $A_{1} B / / M N$ ③ $A D_{1} / /$ 平面 $A_{1} M N$ ④异面直线 $A_{1} D$ 与 $M N$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，其中正确结论的个数为（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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11. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，若点 $F_{2}$ 关于双曲线渐近线的对称点 $A$ 满足 $∠ F_{1} A O = ∠ A O F_{1}$ （ $O$ 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm x$

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12. 若存在 $x_{0}$ 使 $a (e - x) \ln 2 x - 1 = 0$ 成立，其中 $e$ 为自然对数的底数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， \frac{2}{e}]$ B、 $(0 ， \frac{2}{e}]$ C、 $[\frac{2}{e} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup [\frac{2}{e} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 设 $x ， y$ 的满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 5 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 3 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = - 2 x - y$ 的最大值为．

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14. 设单位向量 ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则向量 $\overset{⇀}{e_{2}} - 2 \overset{⇀}{e_{1}}$ 在 $\overset{⇀}{e_{1}} + \overset{⇀}{e_{2}}$ 方向上的投影为．

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15. 若过点 $M (2, 0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与抛物线 $C : y^{2} = a x (a > 0)$ 的准线 $l$ 相交于点 $B$ ，与 $C$ 的一个交点为 $A$ ，若 $\overset{⇀}{B M} = \overset{⇀}{M A}$ ，则 $a =$ ．

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三、解答题

16. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $(\sin C - \sin A) a = (\sin C - \sin B) (c + b)$ ， $Δ A B C$ 的外接圆的半径为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a + c = 4$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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17. 国家统计局拟进行第四次经济普查，某调查机构从

15

个发达地区，

10

个欠发达地区，

5

个贫困地区中选取

6

个作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有

50

家企事业单位，

150

家个体经营户，普查情况如下表所示：

普查对象类别	顺利	不顺利	合计
企事业单位	40	10	50
个体经营户	90	60	150
合计	130	70	200

附：参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d .$

参考数据：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
$k_{0}$	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

(1)、写出选择

6

个国家综合试点地区采用的抽样方法；

(2)、根据列联表判断是否有

97.5 %

的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；

(3)、以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择

1

家企事业单位，

3

家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为

X

，写出

X

的分布列，并求

X

的期望值.

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18. 已知 $A$ 为圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线交 $y$ 轴于点 $B$ ，点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{B P} = 2 \overset{⇀}{B A} .$

(1)、求动点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、设 $Q$ 为直线 $l ： x = 3$ 上一点， $O$ 为坐标原点，且 $O P ⊥ O Q$ ，求 $Δ P O Q$ 面积的最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}} - a \ln x$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、若 $a = - 1$ ，判断函数的单调性，并写出证明过程；

(2)、若 $a \in [- \frac{1}{e} ， 0)$ ，求证：对任意 $x \in (0 ， 2]$ ，都有 $f (x) < \frac{1 - a - a^{2}}{e^{- a}} .$

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20. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \cos θ \\ y = \sin θ \end{array}$ $(θ$ 为参数），过点 $M (0, \sqrt{2})$ 且倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点.

(1)、求 $α$ 的取值范围；

(2)、求 $A B$ 中点 $Q$ 的轨迹的参数方程.

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21. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | x - 1 |$ ， $g (x) = x^{2} - 2 x - 1$ .

(1)、若 $m, n \in R$ ，不等式 $f (m) \geq g (n)$ 恒成立，求实数 $n$ 的取值范围；

(2)、设 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，求证： $\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1} \leq 2 \sqrt{f (x)}$ .

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