山西省2019年高考文数考前适应性训练（三)

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x \geq 0}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ B、 ${x | 0 < x < 1}$ C、 ${x | x \leq 0 或 x \geq 1}$ D、 ${x | x < 0 或 x > 1}$

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2. 已知复数 $z = (1 + a i) (1 - 2 i) (a \in R)$ 为纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 函数 $y = x \cos x$ 的大致图像为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 观察以下各等式： $\sin^{2} 30^{\circ} + \cos^{2} 60^{\circ} + \sin 30^{\circ} \cos 60^{\circ} = \frac{3}{4},$ $\sin^{2} 15^{\circ} + \cos^{2} 45^{\circ} + \sin 15^{\circ} \cos 45^{\circ} = \frac{3}{4},$ $\sin^{2} 10^{\circ} + \cos^{2} 40^{\circ} + \sin 10^{\circ} \cos 40^{\circ} = \frac{3}{4}$ ，从上述等式中反映一般规律的式子为（）

A、 $\sin^{2} α + \cos^{2} (90^{\circ} - α)$ $+ \sin α \cos (90^{\circ} - α) = \frac{3}{4}$ B、 $\sin^{2} α + \cos^{2} (60^{\circ} - α)$ $+ \sin α \cos (60^{\circ} - α) = \frac{3}{4}$ C、 $\sin^{2} (α + 15^{\circ}) + \cos^{2} (α - 15^{\circ})$ $+ \sin (α + 15^{\circ}) \cos (α - 15^{\circ}) = \frac{3}{4}$ D、 $\sin^{2} (α - 15^{\circ}) + \cos^{2} (α + 15^{\circ})$ $+ \sin (α - 15^{\circ}) \cos (α + 15^{\circ}) = \frac{3}{4}$

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5. 已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）

正视图侧视图

俯视图

A、 $12 π$ B、 $16 π$ C、 $\frac{32 π}{3}$ D、 $\frac{40 π}{3}$

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6. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图，现将一个勾 $3$ 股 $4$ 弦 $5$ 的三角形放入平面直角坐标系 $x O y$ 中，在坐标系中任取一点 $M (x ， y)$ ，其中 $x \in {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， y \in {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则点 $M$ 落在该三角形内（含边界）的概率为（）

A、 $\frac{9}{20}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{11}{20}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 已知双曲线 $C$ 过点 $(1, 3)$ ，其两条渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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8. 设 $m = \log_{0.3} 0.6, n = \frac{1}{2} \log_{2} 0.6$ ，则（）

A、 $m + n > m n$ B、 $m + n < m n$ C、 $n - m > m n$ D、 $m - n < m n$

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9. $Δ A B C$ 中，若 $\frac{a}{\cos B} = \frac{b}{\cos A}$ ，则该三角形一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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10. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $2 ， C D$ 边的中点为 $E$ ，现将 $Δ A D E ， Δ B C E$ 分别沿 $A E ， B E$ 折起，使得 $C ， D$ 两点重合为一点记为 $P$ ，则四面体 $P - A B E$ 外接球的表面积是（）

A、 $\frac{17 π}{12}$ B、 $\frac{19 π}{12}$ C、 $\frac{19 π}{3}$ D、 $\frac{17 π}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的一个零点是 $\frac{π}{4}$ ，且在 $(0, \frac{π}{4})$ 内有且只有两个极值点，则（）

A、 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{4})$ B、 $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{4})$ C、 $f (x) = \sin (7 x + \frac{π}{4})$ D、 $f (x) = \sin (11 x + \frac{π}{4})$

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二、填空题

12. 已知向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{b} | = 2 | \overset{⇀}{a} | = 1, \overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ ，则 $| 2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | =$ ．

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13. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - 3 y + 2 \leq 0 \\ 3 x - 2 y + 3 \geq 0 \\ x + y - 4 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值为．

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14. 已知直线 $l : x \cos α + y \sin α = 1 (α \in R)$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相交，则 $r$ 的取值范围是．

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15. 函数 $f (x)$ 为偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = e^{x}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线方程为．

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三、解答题

16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，且 $f (x)$

(1)、求数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前项和 $T_{n}$ .

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17. 某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从 $A$ 农场购进一批优质棉花，厂方技术人员从 $A$ 农场存储的优质棉花中随机抽取了 $100$ 处棉花，分别测量了其纤维长度（单位： $m m$ ）的均值，收集到 $100$ 个样本数据，并制成如下频数分布表：

(1)、求这 $100$ 个样本数据的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

(2)、①用频率估计概率，求从这批棉花中随机抽取处期限为平均长度的概率 $P (X > 27)$ ；
②纺织厂将 $A$ 农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取 $20$ 处测量其纤维均值 $y (i = 1 ， 2 ， \dots ， 20)$ ，数据如下：

若 $20$ 个样本中纤维均值 $Y > 27$ 的频率不低于①中 $P (X > 27)$ ，即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送是掺杂了次品，判断该批棉花不合格.按照此依据判断 $A$ 农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由.

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18. 已知函数 $f (x) = \ln x - m x + m (m \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \leq \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos α, \\ y = 2 \sin α, \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以 $O$ 为极点 $x$ ，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 $O x$ .

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、已知 $A, B$ 是曲线 $C$ 上任意两点，且 $∠ A O B = \frac{π}{4}$ ，求 $Δ O A B$ 面积的最大值.

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