山西省2019届高三理数高考考前适应性训练（三)

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - x}$ 的定义域为A，则 $C_{R} A =$ （）

A、 ${x | x \leq 0$ 或 $x \geq 1}$ B、 ${x | x <0$ 或 $x > 1}$ C、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | 0 < x < 1}$

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2. 抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(0, \frac{1}{8})$ D、 $(0, \frac{1}{16})$

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3. 已知复数 $z = \frac{1 + a i}{1 + 2 i} (a \in R)$ 为纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 函数 $y = x \cos x$ 的大致图像为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）

正视图侧视图

俯视图

A、 $12 π$ B、 $16 π$ C、 $\frac{32 π}{3}$ D、 $\frac{40 π}{3}$

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6. 已知双曲线 $C$ 过点 $(1, 3)$ ，其两条渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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7. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从 $1 ~ 15$ 这 $15$ 个数中随机抽取 $3$ 个数，则这三个数为勾股数的概率为（）

A、 $\frac{1}{910}$ B、 $\frac{3}{910}$ C、 $\frac{4}{455}$ D、 $\frac{6}{455}$

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8. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和的乘积记为 $T_{n}$ ，若 $T_{2} = T_{9} = 512$ ，则 $T_{8} =$ （）

A、 $1024$ B、 $2048$ C、 $4096$ D、 $8192$

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9. 函数 $f (x)$ 为偶函数，当 $\overset{⇀}{B C} = λ \overset{⇀}{A P}$ 时， $f (x) = x e^{x}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线方程为（）

A、 $2 e x + y + e = 0$ B、 $2 e x - y - e = 0$ C、 $2 e x + y - 3 e = 0$ D、 $2 e x - y + 3 e = 0$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = - \frac{2}{3}, S_{n} + \frac{1}{S_{n}} + 2 = a_{n} (n \geq 2)$ ，则下面选项为等差数列的是（）

A、 ${S_{n} + 1}$ B、 ${S_{n} - 1}$ C、 ${\frac{1}{S_{n} + 1}}$ D、 ${\frac{1}{S_{n} - 1}}$

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11. 设 $m = {log}_{0.3} 0.6, n = \frac{1}{2} {log}_{2} 0.6$ ，则（）

A、 $m - n > m n > m + n$ B、 $m - n > m + n > m n$ C、 $m n > m - n > m + n$ D、 $m + n > m - n > m n$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的图像过两点 $A (0, \frac{\sqrt{2}}{2}), B (\frac{π}{4}, 0), f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{4})$ 内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则 $f (x) =$ （）

A、 $f (x) = sin (3 x + \frac{π}{4})$ B、 $f (x) = \sin (5 x + \frac{3 π}{4})$ C、 $f (x) = \sin (7 x + \frac{π}{4})$ D、 $f (x) = \sin (9 x + \frac{3 π}{4})$

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{b} | = 2 | \overset{⇀}{a} | = 1, \overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ 的夹角的余弦值为．

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14. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - 3 y + 2 \leq 0 \\ 3 x - 2 y + 3 \geq 0 \\ x + y - 4 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值为．

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15. 将 $5$ 名学生分配到 $3$ 个社区参加社会实践活动，每个社区至少分配一人，则不同的分配方案有种．（用数字填写答案）

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16. 已知线段 $A B \subset$ 平面 $α$ ，点 $O \in$ 线段 $A B$ ，满足 $O B = 2 O A$ .将点 $A$ 绕 $O$ 折起到点 $P$ 的位置，使直线 $P B$ 与平面 $α$ 所成的角 $θ$ 最大，则 $\tan θ =$ ．

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三、解答题

17. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (\sin x, \cos x), \overset{⇀}{b} = (\sqrt{3} \cos x, c o s x)$ $, f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ .

(1)、求函数 $f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ 的最小正周期；

(2)、在 $Δ A B C$ 中， $B C = \sqrt{7}, \sin B = 3 \sin C$ ，若 $f (A) = 1$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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18. 在三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $A B = B C = C A = A A^{'}$ ，侧面 $A C C^{'} A^{'} ⊥$ 底面 $A B C$ ，D是棱 $B B^{'}$ 的中点.

(1)、求证：平面 $D A^{'} C ⊥$ 平面 $A C C^{'} A^{'}$ ；

(2)、若 $∠ A^{'} A C = 60^{\circ}$ ，求二面角 $A - B C - B^{'}$ 的余弦值.

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19. 某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从 $A$ 农场购进一批优质棉花，厂方技术人员从 $A$ 农场存储的优质棉花中随机抽取了 $100$ 处棉花，分别测量了其纤维长度（单位： $c m$ ）的均值，收集到 $100$ 个样本数据，并制成如下频数分布表：

(1)、求这 $100$ 个样本数据的平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

(2)、将收集到的数据绘制成直方图可以认为这批棉花的纤维长度服从分布 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ \approx \bar{x} ， σ^{2} \approx s^{2}$ .
①利用正态分布，求 $P (X > μ - 2 σ)$ ；

②纺织厂将 $A$ 农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取 $20$ 处测量其纤维均值 $y (i = 1 ， 2 ， \dots ， 20)$ ，数据如下：

若 $20$ 个样本中纤维均值 $Y > μ - 2 σ$ 的频率不低于①中 $P (X > μ - 2 σ)$ ，即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送是掺杂了次品，判断该批棉花不合格.按照此依据判断 $A$ 农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由.

附：若 $Z ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.6827 ，$ $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.9543.$ $\sqrt{12.28} \approx 3.504$

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20. 已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - m x (m \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \leq \frac{1}{2} x^{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos α, \\ y = 2 \sin α, \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以 $O$ 为极点 $x$ ，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 $O x$ .

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、已知 $A, B$ 是曲线 $C$ 上任意两点，且 $∠ A O B = \frac{π}{4}$ ，求 $Δ O A B$ 面积的最大值.

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