内蒙古2019届高三理数高考一模试卷

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = - 1 + 2 i$ ，则 $| \bar{Z} | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 设集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $C = {(x ， y) | \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} \leq 1 ， x \in A ， y \in B}$ ，则集合 $C$ 中元素的个数为（）

A、 $11$ B、 $9$ C、 $6$ D、 $4$

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3. 已知单位向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，若向量 $\overset{⇀}{m} = 2 \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{n} = 4 \overset{⇀}{a} - λ \overset{⇀}{b}$ ，且 $\overset{⇀}{m} ⊥ \overset{⇀}{n}$ ，则 $| \overset{⇀}{n} | =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、4 D、6

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1} 、 A_{2}$ ，点 $P$ 是双曲线 $C$ 上与 $A_{1} 、 A_{2}$ 不重合的动点，若 $k_{{PA}_{1}} k_{{PA}_{2}} = 3$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、2

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5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a \tan B = 2 b \sin (B + C)$ ．则角 $B$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

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6. 如图所示的茎叶图为高三某班 $50$ 名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\dots$ ， $a_{50}$ 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 $m$ ， $n$ 分别是（）

A、 $m = 38$ ， $n = 12$ B、 $m = 26$ ， $n = 12$ C、 $m = 12$ ， $n = 12$ D、 $m = 24$ ， $n = 10$

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7. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得 $100$ , $60$ , $36$ , $21.6$ 个单位,递减的比例为 $40 %$ ,今共有粮 $m (m > 0)$ 石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得 $80$ 石,乙、丁衰分所得的和为 $164$ 石,则“衰分比”与 $m$ 的值分别为（）

A、 $20 %$ $369$ B、 $80 %$ $369$ C、 $40 %$ $360$ D、 $60 %$ $365$

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8. 函数 $y = \frac{x}{e^{\cos x}} (- π \leq x \leq π)$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 经过对中学生记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：

记忆能力 $x$

4

6

8

10

识图能力 $y$

3

5

6

8

由表中数据，求得线性回归方程为 $\hat{y} = \frac{4}{5} x + \hat{a}$ ，若某中学牛的记忆能力为14，则该中学生的识图能力为（）

A、7 B、9.5 C、11.1 D、12

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10. 以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + \ln (x - 1)}{x - 2} (x > 2)$ ，若 $f (x) > \frac{k}{x - 1}$ 恒成立，则整数 $k$ 的最大值为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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二、填空题

12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E ， F$ ，且 $E F = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，现有如下四个结论：
$① A C ⊥ B E$ ； $② E F / /$ 平面 $A B C D$ ；

$③$ 三棱锥 $A - B E F$ 的体积为定值； $④$ 异面直线 $A E ， B F$ 所成的角为定值，

其中正确结论的序号是．

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13. 已知 $α$ 的终边过点 $(3 m, - 2)$ ，若 $\tan (π + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $m =$ ．

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14. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 3 x - y - 6 \leq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x \geq 0 ， y \geq 0 \end{array}$ ，若目标函数 $z = a x + b y (a > 0 ， b > 0)$ 的最大值为 $12$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为．

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15. “雾霾治理”“延迟退休”“里约奥运”“量子卫星”“神舟十一号”成为现在社会关注的 $5$ 个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调査其中的 $4$ 个热点，则“量子卫星”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为．

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16. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ C B$ ，已知 $A C = 2$ ， $P B = 2 \sqrt{6}$ ，则当 $P A + A B$ 最大时，三棱锥 $P - A B C$ 的体积为．

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三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{1} = 1$ ，公比为 $q$ ；等差数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 3$ ，且 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} + S_{3} = 27$ ， $q = \frac{S_{2}}{a_{2}}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{3}{2 S_{n}}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在某外国语学校举行的

H I M C M

(高中生数学建模大赛)中，参与大赛的女生与男生人数之比为

1 ： 3

，且成绩分布在

[40 ， 100]

，分数在

80

以上(含

80

)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取

200

人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．

(Ⅰ)求 $a$ 的值，并计算所抽取样本的平均值 $\bar{x}$ (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(Ⅱ)填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，并判断在犯错误的概率不超过 $0.05$ 的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．

	女生	男生	总计
获奖	$5$
不获奖
总计			$200$

附表及公式：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k_{0}$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

其中 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

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19. 已知点 $B (0, - 2)$ 和椭圆 $B \in F C \subset$ . 直线 $l : y = k x + 1$ 与椭圆 $M$ 交于不同的两点 $P, Q$ .
(Ⅰ) 求椭圆 $M$ 的离心率；

(Ⅱ) 当 $k = \frac{1}{2}$ 时，求 $Δ P B Q$ 的面积；

（Ⅲ）设直线 $P B$ 与椭圆 $M$ 的另一个交点为 $C$ ，当 $C$ 为 $P B$ 中点时，求 $k$ 的值 .

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20. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A D = D C = C B = 1$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ，四边形 $A C F E$ 是矩形，且平面 $A C F E ⊥$ 平面 $A B C D$ .

（Ⅰ）求证： $B C ⊥$ 平面 $A C F E$ ；

（Ⅱ）当二面角 $C - B F - D$ 的平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求这个六面体 $A B C D E F$ 的体积.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 a x + b x - 1 - 2 \ln x (a \in R)$ ．
(Ⅰ)当 $b = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(Ⅱ)当 $x > y > e - 1$ 时，求证： $e^{x} \ln (y + 1) > e^{y} \ln (x + 1)$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ ，已知曲线 $C : {\begin{array}{l} x = \sqrt{3} \cos a \\ y = \sin a \end{array}$ （ $a$ 为参数），在以 $O$ 原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\frac{\sqrt{2}}{2} ρ \cos (θ + \frac{π}{4}) = - 1$ 。

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、过点 $M (- 1, 0)$ 且与直线 $l$ 平行的直线 $l_{1}$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，求点 $M$ 到 $A$ ， $B$ 的距离之积。

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23. 设函数 $f (x) = 5 - | x + a | - | x - 2 |$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \leq 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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记忆能力 $x$	4	6	8	10
识图能力 $y$	3	5	6	8