天津市河西区2019届高三下学期理数总复习质量调查（三)

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $B = {y | y = 2 x - 1 ， x \in A}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${1 ， 3 ， 5}$ C、 ${1 ， 2 ， 5}$ D、 ${1 ， 4}$

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2. 设变量x ， y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y \geq 0 ， \\ x + 2 y - 2 \geq 0 ， \\ x \leq 0 ， \\ y \leq 3 ， \end{array}$ 则目标函数z＝x＋y的最大值为（）

A、 B、1 C、 D、3

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3. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为15，则输出N的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x²＋y²≥4”的( )

A、充分而不必要条件　　　　 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件　　　　　　　　 D、即不充分也不必要条件

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5. 若 $\log_{a} 3 < \log_{b} 3 < 0$ ，则（）

A、 $0 < a < b < 1$ B、 $0 < b < a < 1$ C、 $a > b > 1$ D、 $b > a > 1$

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6. 函数f（x）=sinx-cos(x+ $\frac{π}{6}$ )的值域为（）

A、[ -2 ，2] B、[- $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{3}$ ] C、[-1，1 ] D、[- $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ]

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7. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $2$ ，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，则 $C$ 的焦距等于（）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4$ D、 $4 \sqrt{2}$

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8. $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $A C = 4$ ， $\overset{⇀}{A D} = λ \overset{⇀}{A B} + (1 - λ) \overset{⇀}{A C} (0 < λ < 1)$ ，且 $\overset{⇀}{A D} \cdot \overset{⇀}{A C} = 16$ ，则 $\overset{⇀}{D A} \cdot \overset{⇀}{D B}$ 的最小值等于（）

A、 $- \frac{75}{4}$ B、 $- \frac{21}{4}$ C、 $- \frac{9}{4}$ D、 $- 21$

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二、填空题

9. 已知复数 $z = 2 - i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\frac{\bar{z}}{z} =$ ．

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10. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的8个顶点在同一个球面上，且 $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $A A_{1} = 1$ ，则球的表面积为．

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11. ${(\frac{x}{\sqrt{y}} - \frac{y}{\sqrt{x}})}^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{2}$ 的系数为.

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12. 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = t + 1 \\ y = t - 3 \end{array}$ （t为参数），圆C的极坐标方程是 $ρ = 4 \cos θ$ ，则直线l被圆C截得的弦长为．

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13. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 $x y = 1$ ，则 $x^{2} + 4 y^{2}$ 的最小值为．

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14. 若函数 $y = m x$ 与函数 $y = \frac{| x | - 1}{| x - 1 |}$ 的图象无公共点，求实数 $m$ 的取值范围．

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三、解答题

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{cos B}{cos C} = - \frac{b}{2 a + c}$ ．
（Ⅰ）求 $B$ 的大小；

（Ⅱ）若 $a = 2$ ， $c = 3$ ，求 $cos A$ 和 $sin (2 A - B)$ 的值．

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16. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
（Ⅰ）取出的3件产品中一等品件数 $X$ 的分布列及期望；

（Ⅱ）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

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17. 已知平行四边形 $A B C D$ 中 $∠ A = 60 °$ ， $A B = 2 A D = 2$ ，平面 $A E D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，三角形 $A E D$ 为等边三角形， $E F ∥ A B$ ．

（Ⅰ）求证：平面 $B D F ⊥$ 平面 $A E D$ ；

（Ⅱ）若 $B C ⊥$ 平面 $B D F$

①求异面直线 $B F$ 与 $E D$ 所成角的余弦值；

②求二面角 $B - D F - C$ 的正弦值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} = q a_{n}$ （ $q$ 为实数，且 $q \neq 1$ ）， $n \in N^{*}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{2} + a_{3}$ ， $a_{3} + a_{4}$ ， $a_{4} + a_{5}$ 成等差数列．
（Ⅰ）求 $q$ 的值和 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{{log}_{2} a_{2 n - 1}}{a_{2 n}}$ ， $n \in N^{*}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

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19. 如图，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，以椭圆 $C$ 的上顶点 $T$ 为圆心作圆 $T ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，圆 $T$ 与椭圆 $C$ 在第一象限交于点 $A$ ，在第二象限交于点 $B$ ．

（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）求 $\overset{⇀}{T A} \cdot \overset{⇀}{T B}$ 的最小值，并求出此时圆 $T$ 的方程；

（Ⅲ）设点 $P$ 是椭圆 $C$ 上异于 $A$ ， $B$ 的一点，且直线 $P A$ ， $P B$ 分别与 $y$ 轴交于点 $M$ ， $N$ ， $O$ 的坐标原点，求证： $| O M | \cdot | O N |$ 为定值．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} ， g (x) = \ln x ， h (x) = k x + b$ ．

(1)、当 $b = 0$ 时，若对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 均有 $f (x) ⩾ h (x) ⩾ g (x)$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、设直线 $h (x)$ 与曲线 $f (x)$ 和曲线 $g (x)$ 相切，切点分别为 $A (x_{1} ， f (x_{1}))$ ， $B (x_{2} ， g (x_{2}))$ ，其中 $x_{1} < 0$ ．
①求证： $x_{2} > e$ ；

②当 $x \geq x_{2}$ 时，关于 $x$ 的不等式 $a (x_{1} - 1) + x \ln x - x \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 取值范围．

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