天津市和平区2019届高三理数第三次质量调查试卷

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1, 0}$ ， $B = {t | t = y - x, x \in A 且 y \in A}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${- 1}$ C、 ${- 1, 1}$ D、 ${- 1, 0}$

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2. 设 $p : | x - \frac{1}{2} | < \frac{1}{2}$ ， $q : 2^{x} \geq 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y - 2 \leq 0 \\ 2 x - y + 3 \geq 0 \\ x + y \leq 0 \end{array}$ ，则 $\frac{y + 4}{x + 6}$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{3} ， 1]$ B、 $[- 3 ， 1]$ C、 $(- \infty ， - 3] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $[- \frac{3}{7} ， 1]$

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4. 在如图所示的计算 $1 + 5 + 9 + \dots + 2017$ 程序框图中，判断框内应填入的条件是（）

A、 $i \leq 2017 ?$ B、 $i < 2017 ?$ C、 $i < 2013 ?$ D、 $i \leq 2021 ?$

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5. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ B A D = 120 °$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $B C$ ， $D C$ 上， $B C = 3 B E$ ， $D C = λ D F$ ，若 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{A F} = 1$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、3 B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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6. 若函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (2 x + θ) + \cos (2 x + θ) (0 < θ < π)$ 的图象关于 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称，则函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ 上的最小值是（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 设 $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别为具有公共焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的椭圆和双曲线的离心率， $P$ 为两曲线的一个公共点，且满足 $\overset{⇀}{P F_{1}} \cdot \overset{⇀}{P F_{2}} = 0$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、不确定

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8. 已知函数 $f (x) = - | x - a | + a$ ， $g (x) = x^{2} - 4 x + 3$ ，若方程 $f (x) = | g (x) |$ 有两个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2}) \cup (\frac{13}{8} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2} ， \frac{13}{8}) \cup (\frac{5 + \sqrt{13}}{2} ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{5 - \sqrt{13}}{2}) \cup [\frac{3}{2} ， \frac{13}{8}]$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{5 - \sqrt{13}}{2}] \cup [\frac{3}{2} ， \frac{13}{8}]$

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二、填空题

9. 若 $(1 - 2 a i) i = 1 + b i$ ，其中 $a, b \in R$ ， $i$ 是虚数单位，则 $| a - b i | =$ ．

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10. 由曲线 $y = \sqrt{x}$ ， $y = - x + 2$ 以及 $x$ 轴围成的封闭图形面积为．

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11. 已知两条不重合的直线 $m$ ， $n$ ，两个不重合的平面 $α$ ， $β$ ，有下列四个命题：
①若 $m ∥ n$ ， $m \subset α$ ，则 $n ∥ α$ ；

②若 $n ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，且 $m ∥ n$ ，则 $α ∥ β$ ；

③若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m ∥ β$ ， $n ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ ；

④若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = m$ ，且 $n \subset β$ ， $n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ α$ ．

其中所有正确命题的序号为．

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12. 已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 8 t^{2} \\ y = 8 t \end{array}$ （ $t$ 为参数）， $F$ 是曲线 $C$ 的焦点，点 $A$ 的极坐标为 $(4 ， \frac{π}{3})$ ，曲线 $C$ 上有某点 $P$ ，使得 $| P A | + | P F |$ 取得最小值，则点 $P$ 的坐标为．

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13. 已知 $x > 0$ ， $y > - 1$ ，且 $x + y = 1$ ，则 $\frac{x^{2} + 3}{x} + \frac{y^{2}}{y + 1}$ 最小值为．

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14. 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2不相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答)。

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三、解答题

15. 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c ，且 $\frac{2 b - \sqrt{3} c}{\sqrt{3} a} = \frac{\cos C}{\cos A}$ ．

(1)、求A的值；

(2)、若B=30°，BC边上的中线AM= $\sqrt{7}$ ，求△ABC的面积．

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16. 某城市为鼓励人们乘坐地铁出行，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：

乘坐站数 $x$

$0 < x \leq 10$

$10 < x \leq 20$

$20 < x \leq 30$

票价（元）

3

6

9

现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站，甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{3}$ ；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ．

（Ⅰ）求甲、乙两人付费相同的概率；

（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是菱形， $P A = A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ．

（Ⅰ）求证：直线 $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

（Ⅱ）求直线 $P B$ 与平面 $P A D$ 所成角的正切值；

（Ⅲ）设点 $M$ 在线段 $P C$ 上，且二面角 $C - M B - A$ 的余弦值为 $\frac{5}{7}$ ，求点 $M$ 到底面 $A B C D$ 的距离．

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18. 设椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点与抛物线 $C_{2} : x^{2} = 4 y$ 的焦点重合， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C_{1}$ 的左、右焦点，离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，过椭圆 $C_{1}$ 右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C_{1}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．
（Ⅰ）求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

（Ⅱ）是否存在直线 $l$ ，使得 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 1$ ，若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）设点 $M (t, 0)$ 是一个动点，若直线 $l$ 的斜率存在，且 $N$ 为 $A B$ 中点， $M N ⊥ A B$ ，求实数 $t$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = m x + n$ ．
（Ⅰ）设 $h (x) = f (x) - g (x)$ ．

①若函数 $h (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线过点 $(1 ， 0)$ ，求 $m + n$ 的值；

②当 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，若函数 $h (x)$ 在 $(- 1 ， + \infty)$ 上没有零点，求 $m$ 的取值范围；

（Ⅱ）设函数 $r (x) = \frac{1}{f (x)} + \frac{n x}{g (x)}$ ，且 $n = 4 m (m > 0)$ ．求证：当 $x \geq 0$ 时， $r (x) \geq 1$ ．

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乘坐站数 $x$	$0 < x \leq 10$	$10 < x \leq 20$	$20 < x \leq 30$
票价（元）	3	6	9