北京市房山区2019届高三理数第二次高考模拟检测试卷

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $z = 2 + i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $1$ C、 $3$ D、 $5$

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2. 下列函数中为偶函数的是（）

A、 $y = x^{3} + x$ B、 $y = x^{2} - 4$ C、 $y = \sqrt{x}$ D、 $y = | x + 1 |$

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3. 执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $8$ D、 $9$

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4. 已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为（）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $1$

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5. 直线 ${\begin{array}{l} x = t + 1, \\ y = t \end{array}$ （ $t$ 为参数）与圆 ${\begin{array}{l} x = 2 + \cos θ, \\ y = \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）的位置关系为（）

A、相离 B、相切 C、相交且直线过圆心 D、相交但直线不过圆心

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6. 五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革：庆祝改革开放40周年大型展览”，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有（）

A、 $36$ 种 B、48种 C、72种 D、 $120$ 种

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7. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + y \geq 1 ， \\ x - 2 y \leq 4 \end{array}$ 表示的平面区域为 $D$ ，则（）

A、 $\forall (x ， y) \in D ， x + 2 y \geq 2$ B、 $\forall (x ， y) \in D ， x + 2 y \leq 2$ C、 $\exists (x ， y) \in D ， x + 2 y \geq - 2$ D、 $\exists (x ， y) \in D ， x + 2 y \leq - 2$

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，动点 $E$ 在棱 $B B_{1}$ 上，动点 $F$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ 上， $O$ 为底面 $A B C D$ 的中心，若 $B E = x ， A_{1} F = y$ ，则四面体 $O - A E F$ 的体积（）

A、与 $x ， y$ 都有关 B、与 $x ， y$ 都无关 C、与 $x$ 有关，与 $y$ 无关 D、与 $y$ 有关，与 $x$ 无关

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二、填空题

9. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，则离心率等于.

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10. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 4$ ， $a_{6} + a_{8} = 12$ ，则 $S_{7}$ =.

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11. 在以 $A B$ 为边， $A C$ 为对角线的矩形中， $\overset{⇀}{A B} = (3 ， 1) ， \overset{⇀}{A C} = (2 ， k)$ ，则实数 $k =$ .

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12. 设 $a, b \in R^{+}$ ，且 $a \neq 1, b \neq 1$ ，能说明“若 $\log_{a} 3 > \log_{b} 3$ ，则 $b > a$ ”为假命题的一组 $a, b$ 的值依次为.

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13. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的解析式为 $g (x) =$ ；对于满足 $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | = 2$ 的 $x_{1} ， x_{2}$ ， $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值等于.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + a - 1, - 3 \leq x \leq 0, \\ - x^{2} + 2 x - a, 0 < x \leq 3. \end{array}$ 当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 的最小值等于；若对于定义域内的任意 $x$ ， $f (x) \leq | x |$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

15. 已知在△ $A B C$ 中， $a^{2} + c^{2} - a c = b^{2}$ ．
（Ⅰ）求角 $B$ 的大小；

（Ⅱ）求 $\cos A + \cos C$ 的最大值．

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16. 为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治.某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分 $m$ 都在区间 $[70 ， 95]$ .已知评估综合得分与产品等级如下表：

根据评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样本频数分布表和乙型号的样本频率分布直方图（图表如下）.

甲型乙型

（Ⅰ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为二级品的概率；

（Ⅱ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取3件，设随机变量 $X$ 为其中二级品的个数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较.

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17. 已知正方形 $A B C D$ 和矩形 $A C E F$ 所在的平面互相垂直， $A B = 2 ， A F = 1$ ，点 $M$ 在线段 $E F$ 上.

（Ⅰ）若 $M$ 为 $E F$ 的中点，求证： $A M ∥$ 平面 $B D E$ ；

（Ⅱ）求二面角 $A - B F - D$ 的余弦值；

（Ⅲ）证明：存在点 $M$ ，使得 $A M ⊥$ 平面 $B D F$ ，并求 $\frac{E M}{E F}$ 的值.

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18. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 过点 $(2 ， 1) .$
（Ⅰ）求抛物线的方程和焦点坐标；

（Ⅱ）过点 $A (0 ， - 4)$ 的直线 $l$ 与抛物线交于两点 $M ， N$ ，点 $M$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $T$ ，试判断直线 $T N$ 是否过定点，并加以证明.

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19. 已知函数 $f (x) = x - 2 \sin x + 1 ， g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + m \cos x$ .
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

（Ⅱ）求 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的单调区间；

（Ⅲ）当 $m > 1$ 时，证明： $g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上存在最小值.

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20. 设是不小于3的正整数，集合 $S_{n} = {(a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n}) | a_{i} \in {0 ， 1} ， i = 1 ， 2 ， \dots ， n}$ ，对于集合 $S_{n}$ 中任意两个元素 $A = (a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n})$ ， $B = (b_{1} ， b_{2} ， \dots ， b_{n})$ .
定义1： $A \cdot B = n - (| a_{1} - b_{1} | + | a_{2} - b_{2} | + \dots + | a_{n} - b_{n} |)$ .

定义2：若 $A \cdot B = 0$ ，则称 $A = (a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n})$ ， $B = (b_{1} ， b_{2} ， \dots ， b_{n})$ 互为相反元素，记作 $A = \bar{B}$ ，或 $B = \bar{A}$ .

（Ⅰ）若 $n = 3$ ， $A = (0 ， 1 ， 0)$ ， $B = (1 ， 1 ， 0)$ ，试写出 $\bar{A}$ ， $\bar{B}$ ，以及 $A \cdot B$ 的值；

（Ⅱ）若 $A ， B \in S_{n}$ ，证明： $A \cdot B + \bar{A} \cdot B = n$ ；

（Ⅲ）设 $k$ 是小于 $n$ 的正奇数，至少含有两个元素的集合 $M \subseteq S_{n}$ ，且对于集合 $M$ 中任意两个不相同的元素 $A = (a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n})$ ， $B = (b_{1} ， b_{2} ， \dots ， b_{n})$ ，都有 $A \cdot B = n - k$ ，试求集合 $M$ 中元素个数的所有可能值.

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