北京市东城区2019届高三下学期理数综合练习（一)

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $(2 - i) z$ 对应的点位于第二象限，则复数 $z$ 可取（）

A、2 B、-1 C、 $i$ D、 $2 + i$

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2. 正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、平行四边形 D、梯形

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3. 若 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y \geq 0 \\ y + 1 \leq 0 \\ y \geq 2 x - 6 \end{array}$ ，则 $| x - y |$ 的最大值为（）

A、 $4$ B、 $2$ C、 $1$ D、 $0$

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4. 已知直线 $l$ 过抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点 $F$ ，与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，与其准线交于点 $C$ .若点 $F$ 是 $A C$ 的中点，则线段 $B C$ 的长为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $3$ C、 $\frac{16}{3}$ D、 $6$

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5. 南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为 $V_{1} ， V_{2}$ ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，则“ $V_{1} ， V_{2}$ 相等”是“ $S_{1} ， S_{2}$ 总相等”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = a$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则下列关于 ${a_{n}}$ 的判断正确的是（）

A、 $\forall a > 0, \exists n \geq 2,$ 使得 $a_{n} < \sqrt{2}$ B、 $\exists a > 0, \exists n \geq 2,$ 使得 $a_{n} < a_{n + 1}$ C、 $\forall a > 0, \exists m \in N^{*},$ 总有 $a_{m} < a_{n} (m \neq n)$ D、 $\exists a > 0, \exists m \in N^{*},$ 总有 $a_{m + n} = a_{n}$

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二、填空题

7. 在 ${(\sqrt{2} - x)}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是.（用数字作答）

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8. 在 $Δ A B C$ 中，若 $b \cos C + c \sin B = 0$ ，则 $∠ C$ =.

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9. 若曲线 $C$ ${\begin{matrix} x = a + \cos θ, \\ y = 2 + \sin θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数）关于直线 $l :$ ${\begin{matrix} x = 1 + t, \\ y = - 2 + 2 t \end{matrix}$ ( $t$ 为参数)对称，则 $a =$ ；此时原点 $O$ 到曲线 $C$ 上点的距离的最大值为.

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10. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, \sqrt{3})$ ，向量 $\overset{⇀}{b}$ 为单位向量，且 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = 1$ ，则 $2 \overset{⇀}{b} - \overset{⇀}{a}$ 与 $2 \overset{⇀}{b}$ 夹角为.

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11. 已知函数 $f (x) = 4 x - x^{3}$ ，若 $\forall x_{1}, x_{2} \in [a, b], x_{1} \neq x_{2},$ 都有 $2 f (x_{1} + x_{2}) > f (2 x_{1}) + f (2 x_{2})$ 成立，则满足条件的一个区间是.

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12. 设 $A ， B$ 是 $R$ 的两个子集，对任意 $x \in R$ ，定义： $m = {\begin{matrix} 0 \begin{matrix} ， & x \notin A ， \end{matrix} \\ 1 \begin{matrix} ， & x \in A ， \end{matrix} \end{matrix}$ $n = {\begin{matrix} 0 \begin{matrix} ， & x \notin B ， \end{matrix} \\ 1 \begin{matrix} ， & x \in B \end{matrix} . \end{matrix}$
①若 $A \subseteq B$ ，则对任意 $x \in R$ ， $m (1 - n) =$ ；

②若对任意 $x \in R$ ， $m + n = 1$ ，则 $A ， B$ 的关系为.

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三、解答题

13. 已知函数 $f (x) = 4 a \cos x \sin (x - \frac{π}{6})$ ，且 $f (\frac{π}{3}) = 1$ .
(Ⅰ) 求 $a$ 的值及 $f (x)$ 的最小正周期；

(Ⅱ) 若 $f (x)$ 在区间 $[0 ， m]$ 上单调递增，求 $m$ 的最大值.

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14. 改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．

（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多 $500$ 亿元以上的概率；

（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设 $X$ 是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求 $X$ 的分布列与数学期望；

（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）

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15. 如图，在棱长均为 $2$ 的三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $C$ 在平面 $A_{1} A B B_{1}$ 内的射影 $O$ 为 $A B_{1}$ 与 $A_{1} B$ 的交点， $E ， F$ 分别为 $B C ， A_{1} C_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）求证：四边形 $A_{1} A B B_{1}$ 为正方形；

（Ⅱ）求直线 $E F$ 与平面 $A_{1} A C C_{1}$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）在线段 $A B_{1}$ 上存在一点 $D$ ，使得直线 $E F$ 与平面 $A_{1} C D$ 没有公共点，求 $\frac{A D}{D B_{1}}$ 的值.

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16. 设函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - \ln x$ 的极小值点为 $x_{0}$ .
（I）若 $x_{0} = 1$ ，求 $a$ 的值 $f (x)$ 的单调区间；

（II）若 $0 < x_{0} < 1$ ，在曲线 $y = f (x)$ 上是否存在点 $P$ ，使得点 $P$ 位于 $x$ 轴的下方？若存在，求出一个 $P$ 点坐标，若不存在，说明理由.

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17. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4 m} + \frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 与 $x$ 轴交于两点 $A_{1} ， A_{2}$ ，与 $y$ 轴的一个交点为 $B$ ，△ $B A_{1} A_{2}$ 的面积为2.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程及离心率；

（Ⅱ）在 $y$ 轴右侧且平行于 $y$ 轴的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $P_{1} ， P_{2}$ ，直线 $A_{1} P_{1}$ 与直线 $A_{2} P_{2}$ 交于点 $P$ .以原点 $O$ 为圆心，以 $A_{1} B$ 为半径的圆与 $x$ 轴交于 $M ， N$ 两点（点 $M$ 在点 $N$ 的左侧），求 $| P M | - | P N |$ 的值.

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18. 已知 $L \in N^{*}$ ，数列 $A : a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n}$ 中的项均为不大于 $L$ 的正整数. $c_{k}$ 表示 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 中 $k$ 的个数 $(k = 1 ， 2 ， \dots ， L)$ .定义变换 $T$ ， $T$ 将数列 $A$ 变成数列 $T (A)$ $: t (a_{1}), t (a_{2}), \dots, t (a_{n})$ 其中 $t (k) = L \cdot \frac{c_{1} + c_{2} + \dots + c_{k}}{n}$ .
（Ⅰ）若 $L = 4$ ，对数列 $A ： 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 3 ， 4$ ，写出 $c_{i}$ $(1 \leq i \leq 4)$ 的值；

（Ⅱ）已知对任意的 $k (k = 1, 2, \dots, n)$ ，存在 $A$ 中的项 $a_{m}$ ，使得 $a_{m} = k$ .求证： $t （ a_{i} ） = a_{i}$ $x \neq 0$ 的充分必要条件为 $c_{i} = c_{j} (i ， j = 1 ， 2 ， \dots ， L) ；$

（Ⅲ）若 $l = n$ ，对于数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ，令 $T (T (A)) : b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ ，求证： $b_{i} = t (a_{i})$ $(i = 1, 2, \dots, n) .$

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