北京市朝阳区2019届高三文数5月二模试卷

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {x | x (x - 2) < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x > 0}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | x > 0$ 且 $x \neq 1}$

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2. 复数 $i (1 + i)$ 的虚部为（）

A、-1 B、0 C、1 D、 $\sqrt{2}$

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3. 已知 $a = \log_{3} e$ ， $b = \ln 3$ ， $c = \log_{3} 2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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4. 在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示．执行该程序框图，输出s的值为（）

A、4 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{52}{15}$ D、 $\frac{304}{105}$

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5. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $| \overset{⇀}{a} | = 1, | \overset{⇀}{b} | = 2$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | =$ （）

A、 $3$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $7$ D、 $\sqrt{7}$

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $a_{1}$ ，公差 $d \neq 0$ ，则“ $a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列” 是“ $a_{1} = d$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \geq a \\ - x ， x < a \end{array}$ 若函数 $f (x)$ 存在零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、（-∞，1） D、 $(1 ， + \infty)$

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8. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为线段CD和 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，且满足 $C E = A_{1} F$ ，则四边形 $D_{1} F B E$ 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）

A、有最小值 $\frac{3}{2}$ B、有最大值 $\frac{5}{2}$ C、为定值3 D、为定值2

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二、填空题

9. 函数 $y = 2 s i n (π x ＋ φ) ， x \in R$ 的最小正周期为.

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10. 已知点 $M (1, 2)$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，则 $p =$ ；点 $M$ 到抛物线 $C$ 的焦点的距离是.

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11. 圆 $C : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 上的点 $P$ 到直线 $l : x - 2 y - 3 = 0$ 的距离的最小值是.

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12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.

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13. 实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \geq 1 ， \\ y \geq x ， \\ x + y \leq 4. \end{array}$ 能说明“若 $z = x + y$ 的最大值是 $4$ ，则 $x = 1 ， y = 3$ ”为假命题的一组 $(x ， y)$ 值是.

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14. 设全集 $U = {1, 2, 3, \dots, 20}$ ，非空集合 $A$ ， $B$ 满足以下条件：
① $A \cup B = U$ ， $A \cap B = \emptyset$ ；

②若 $x \in A$ ， $y \in B$ ，则 $x + y \notin A$ 且 $x y \notin B$

当 $7 \in A$ 时， $1$ $B$ （填 $\in$ 或 $\notin$ ），此时 $B$ 中元素个数为.

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三、解答题

15. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} + a_{3} = 12, a_{2} + a_{4} = 18$ , $n \in N^{*}$ .
（I）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（II）求 $a_{3} + a_{6} + a_{9} + ... + a_{3 n}$ .

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16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $∠ A B C = 90 °$ ．已知 $A D = \sqrt{3}$ ， $B D = \sqrt{6}$ ．

(1)、求 $\sin ∠ A B D$ 的值；

(2)、若 $C D = 2$ ，且 $C D > B C$ ，求 $B C$ 的长．

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17. 某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场由5名专家组成评委给每位参赛选手评分，场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分需要综合考虑专家评分和观众评分.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表.另有约数万名场外观众参与评分，将观众评分按照 $[7 ， 8) ， [8 ， 9) ， [9 ， 10]$ 分组，绘成频率分布直方图如下图.

（Ⅰ）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；

（Ⅱ）从现场专家中随机抽取2人，求其中评分高于9分的至少有1人的概率；

（Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分.

方案一：计算所有专家与观众评分的平均数 $\bar{x}$ 作为该选手的最终得分；

方案二：分别计算专家评分的平均数 $\bar{x_{1}}$ 和观众评分的平均数 $Δ A B C$ ，用 $\frac{\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}}}{2}$ 作为该选手最终得分.

请直接写出 $\bar{x}$ 与 $\frac{\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}}}{2}$ 的大小关系.

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18. 如图1，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B / / D C ， ∠ B A D = 90 °$ ， $A B = 4 ， A D = 2 ， D C = 3$ ，点 $E$ 在 $C D$ 上，且 $D E = 2$ ，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起，使得平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ (如图2). $G$ 为 $A E$ 中点

(1)、求证： $D G ⊥ B C$ ；

(2)、求四棱锥 $D - A B C E$ 的体积；

(3)、在线段 $B D$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $C P / /$ 平面 $A D E$ ？若存在，求 $\frac{B P}{B D}$ 的值；若不存在，请说明理由

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19. 已知椭圆 $C :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ $(a > 1)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设直线 $l$ 过点 $M (1, 0)$ 且与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.过点 $A$ 作直线 $x = 3$ 的垂线，垂足为 $D$ .证明直线 $B D$ 过 $x$ 轴上的定点.

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20. 已知函数 $f (x) = (m + 1) x + \ln x (m \in R)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若函数 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x} - f (x)$ 在区间 $(1 ， 2)$ 内有且只有一个极值点，求 $m$ 的取值范围.

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