北京市朝阳区2019届高三理数5月二模试卷

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {x | x (x - 2) < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x > 0}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | x > 0$ 且 $x \neq 1}$

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2. 复数i（1+i）的虚部为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、0 D、 $- 1$

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3. 在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示．执行该程序框图，输出s的值为（）

A、4 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{52}{15}$ D、 $\frac{304}{105}$

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4. 在△ABC中， $B = \frac{π}{6}$ ，c=4， $c o s C = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则b=（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、3 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $a_{1}$ ，公差 $d \neq 0$ ，则“ $a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列” 是“ $a_{1} = d$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \geq a \\ - x ， x < a \end{array}$ 若函数 $f (x)$ 存在零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、（-∞，1） D、 $(1 ， + \infty)$

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7. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为线段CD和 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，且满足 $C E = A_{1} F$ ，则四边形 $D_{1} F B E$ 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）

A、有最小值 $\frac{3}{2}$ B、有最大值 $\frac{5}{2}$ C、为定值3 D、为定值2

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8. 在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC= $\frac{π}{3}$ ， $∠ A C B \neq \frac{π}{2}$ ，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则 $\vec{A Q}$ 在 $\vec{B C}$ 方向上投影的最大值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题

9. 已知 $a = \log_{3} e, b = \ln 3, c = \log_{3} 2$ ，则a，b，c中最小的是．

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10. 已知点M（1，2）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，则点M到抛物线C焦点的距离是．

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11. 圆 $C ： {\begin{matrix} x = c o s θ \\ y = 1 + s i n θ \end{matrix} (θ$ 为参数）上的点P到直线 $l ： {\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 + t \end{matrix} (t$ 为参数）的距离最小值是．

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12. 实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \geq 1 ， \\ y \geq x ， \\ x + y \leq 4. \end{array}$ 能说明“若 $z = x + y$ 的最大值是 $4$ ，则 $x = 1 ， y = 3$ ”为假命题的一组 $(x ， y)$ 值是.

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13. 由数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，偶数共有个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有个．

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14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），M（-4，0），N（4，0），P（0，-2），Q（0，2），H（4，2）．线段OM上的动点A满足 $\vec{O A} = λ \vec{O M} (λ \in (0 ， 1))$ ；线段HN上的动点B满足 $\vec{H B} = λ \vec{H N}$ ．直线PA与直线QB交于点L，设直线PA的斜率记为k，直线QB的斜率记为k'，则k•k'的值为；当λ变化时，动点L一定在（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．

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三、解答题

15. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 2 \sqrt{3} c o s^{2} x - \sqrt{3}$ ．

(1)、求函数f（x）的最小正周期；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{12}]$ 时，求证： $f (x) \geq - \sqrt{3}$ ．

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16. 某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：

专家	A	B	C	D	E
评分	9.6	9.5	9.6	8.9	9.7

(1)、求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；

(2)、从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E（Y）的值；

(3)、考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数

\bar{x}

作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数

\bar{x_{1}}

和观众评分的平均数

\bar{x_{2}}

，用

\frac{\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}}}{2}

作为该选手最终得分．请直接写出

\bar{x}

与

\frac{\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}}}{2}

的大小关系．

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17. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是正三角形，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ．D，E分别是边BC，AC的中点，线段 $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 交于点G，且 $A B = 4$ ， $B B_{1} = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $E G$ ∥平面 $A B_{1} D$ ；

(2)、求证： $B C_{1}$ ⊥平面 $A B_{1} D$ ；

(3)、求二面角 $A - B_{1} C - B$ 的余弦值．

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18. 已知函数 $f (x) = (2 a x^{2} + 4 x) \ln x - a x^{2} - 4 x (a \in R$ 且a≠0）．

(1)、求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)、若函数f（x）的极小值为 $\frac{1}{a}$ ，试求a的值．

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19. 已知椭圆 $C :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ $(a > 1)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设直线 $l$ 过点 $M (1, 0)$ 且与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.过点 $A$ 作直线 $x = 3$ 的垂线，垂足为 $D$ .证明直线 $B D$ 过 $x$ 轴上的定点.

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20. 对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S（A）．

(1)、若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；

(2)、若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；

(3)、若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．

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