北京市昌平区2019年高三文数年级第二次统一练习考试试卷

试卷更新日期：2020-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {x \in Z | x^{2} < 9}$ ，集合 $A = {- 2 ， 2}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${- 1, 1}$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $(- 1, 1)$

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2. 已知复数 $z = - 1 + a (1 + i)$ （i为虚数单位，a为实数）在复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚部可以是（）

A、 $- \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a的值是（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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4. 已知实数 $x \in R$ ，则“ $x < 0$ ”是“ $l n (x + 1) < 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 在平行四边形ABCD中，AB∥CD， $\overset{⇀}{A B} = (2 ， - 2) ， \overset{⇀}{A D} = (2 ， 1)$ ，则 $\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{D B}$ =（）

A、 $- 3$ B、2 C、3 D、4

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6. 若 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y - 3 \leq 0 ， \\ x - 2 y - 3 \geq 0 \\ y \geq m ， \end{array}$ ，且 $z = 2 x + y$ 的最小值为 $1$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 5$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $5$

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7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、3

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8. 一次数学竞赛，共有6道选择题，规定每道题答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分．一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛，这个小组的人数与总得分情况为（）

A、当小组的总得分为偶数时，则小组人数一定为奇数 B、当小组的总得分为奇数时，则小组人数一定为偶数 C、小组的总得分一定为偶数，与小组人数无关 D、小组的总得分一定为奇数，与小组人数无关

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二、填空题

9. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图像过点 $(2, \sqrt{2}),$ 则 $f (4) =$ ．

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10. 为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园．针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于21岁至65岁的居民进行了调查．已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人．若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是．

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11. 能说明“设a，b为实数，若 $a^{2} + b^{2} \neq 0$ ，则直线 $a x + b y - 1 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切”为假命题的一组a，b的值依次为．

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12. 等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{5} + a_{9} = a_{6} + 8$ ，则a₅=；若 $a_{1} = 16$ ，则n=时，{a_n}的前n项和取得最大值．

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13. 已知双曲线 $C_{1} ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，若抛物线 $C_{2} ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为1，则抛物线C₂的方程为．

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14. 已知函数 $f （ x ） = c o s (ω x + φ) （ ω > 0 ， φ < 0 ）$ 的最小正周期为π，且 $∴ - \frac{π}{3} \leq 2 x - \frac{π}{3} \leq \frac{2 π}{3}$ 对任意的实数x都成立，则ω的值为； $φ$ 的最大值为．

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三、解答题

15. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，a₂=8，且a₃+a₅=4a₂ ．
（Ⅰ）求等差数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设各项均为正数的等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{4} = a_{1} ， b_{6} = a_{4}$ ，求数列{b_n-a_n}的前n项和 $S_{n}$ ．

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16. 在△ABC中，AC=4， $B C = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ．
（Ⅰ）求 $∠ A B C$ 的大小；

（Ⅱ）若D为BC边上一点， $A D = \sqrt{7}$ ，求DC的长度．

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17. 某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行了体质测试．现从两个年级学生中各随机选取20人，将他们的测试数据，用茎叶图表示如图：《国家学生体质健康标准》的等级标准如表．规定：测试数据≥60，体质健康为合格．

等级

优秀

良好

及格

不及格

测试数据

$[90 ， 100]$

$[80 ， 89]$

$[60 ， 79]$

$[0 ， 59]$

（Ⅰ）从该校高二年级学生中随机选取一名学生，试估计这名学生体质健康合格的概率；

（Ⅱ）从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，求选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率；

（Ⅲ）设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为 $\bar{X_{1}} ， S_{1}^{2}$ ，高二学生测试数据的平均数和方差分别为 $\bar{X_{2}} ， S_{2}^{2}$ ，试估计 $\bar{X_{1}} 与 \bar{X_{2}}$ 、 $S_{1}^{2} 与 S_{2}^{2}$ 的大小．（只需写出结论）

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18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1， $P C = P D = \sqrt{2}$ ，E为PB中点．

（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；

（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；

（Ⅲ）求三棱锥E-ABC的体积．

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19. 已知椭圆 $G ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，经过点B（0，1）．设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．
（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；

（Ⅱ）是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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20. 已知函数 $f (x) = [x^{2} + (a + 1) x + 1] e^{x}$ ．
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线与x轴平行，求a的值；

（Ⅱ）若 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极大值，求a的取值范围；

（Ⅲ）当a=2时，若函数 $g (x) = m f (x) - 1$ 有3个零点，求m的取值范围．（只需写出结论）

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等级	优秀	良好	及格	不及格
测试数据	$[90 ， 100]$	$[80 ， 89]$	$[60 ， 79]$	$[0 ， 59]$