甘肃省河西五市部分普通高中2016-2017学年高考理数二模考试试卷

试卷更新日期：2017-09-13 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知全集U=R，集合A={x|y=lg（x﹣1）}，B={y|y= $\sqrt{x^{2} + 2 x + 5}$ }，则A∩（∁_UB）=（）

A、[1，2] B、[1，2） C、（1，2] D、（1，2）

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2. 已知复数z= $\frac{2}{- 1 + i}$ ，则（）

A、z的虚部为﹣1 B、z的实部为1 C、|z|=2 D、z的共轭复数为1+i

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3. 已知 $\vec{a}$ =（﹣3，2，5）， $\vec{b}$ =（1，x，﹣1），且 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =2，则x的值是（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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4. 曲线y=2lnx上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 $\sqrt{5}$ C、3 $\sqrt{5}$ D、2

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5. 若命题p：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题q：在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为 $\frac{π}{8}$ ，则下列命题是真命题的是（）

A、p∧q B、（¬p）∧q C、p∧（¬q） D、¬q

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6. 《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（）

A、144种 B、288种 C、360种 D、720种

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7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）

A、25π B、50π C、75π D、100π

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8. 已知函数f（x）= $\frac{4}{3}$ x³﹣ax，在x= $\frac{1}{2}$ 处取得极小值，记g（x）= $\frac{1}{f' (x)}$ ，程序框图如图所示，若输出的结果S＞ $\frac{12}{25}$ ，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（）

A、n≤12？ B、n＞12？ C、n≤13？ D、n＞13？

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9. 已知函数f（x）=sin²ωx﹣ $\frac{1}{2}$ （ω＞0）的周期为 $\frac{π}{2}$ ，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{8}$

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10. 已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且s₆＞s₇＞s₅ ，给出下列五个命题：①d＞0；②S₁₁＞0；③S₁₂＜0；④数列{S_n}中的最大项为S₁₁；⑤|a₅|＞|a₇|．其中正确命题的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁ ， F₂ ，过F₂的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF₁|=|F₁F₂|，且3|PF₂|=2|QF₂|，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、 $\frac{10}{3}$

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12. 对函数f（x），如果存在x₀≠0使得f（x₀）=﹣f（﹣x₀），则称（x₀ ， f（x₀））与（﹣x₀ ， f（﹣x₀））为函数图象的一组奇对称点．若f（x）=e^x﹣a（e为自然数的底数）存在奇对称点，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，1） B、（1，+∞） C、（e，+∞） D、[1，+∞）

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二、填空题

13. 设不等式组 ${\begin{matrix} x + y - 4 \leq 0 \\ x - y \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是．

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14. 给出下列四个结论：
① $\int_{- a}^{a}$ （x²+sinx）dx=18，则a=3；
②用相关指数R²来刻画回归效果，R²的值越大，说明模型的拟合效果越差；
③若f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），则函数f（x）的图象关于x=1对称；
④已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ²），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ＜﹣2）=0.21；
其中正确结论的序号为．

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15. 若 $x^{10} - x^{5} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{10} {(x - 1)}^{10}$ ，则a₅= ．

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16. 已知数列{a_n}满足a₁= $\frac{1}{2}$ ，a_n+1=a_n²+a_n（n∈N*），则 $\sum_{n = 1}^{2018} \frac{1}{a_{n} + 1}$ 的整数部分是．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $2 a s i n A = (2 b + \sqrt{2} c) s i n B + (2 c + \sqrt{2} b) s i n C$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $a = 3 \sqrt{10} ， b = 3 \sqrt{2}$ ，D是BC的中点，求AD的长．

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18. 春节来临，有农民工兄弟A、B、C、D四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响．若A、B、C、D获得火车票的概率分别是 $p_{1} ， \frac{1}{2} ， p_{3} ， \frac{1}{4}$ ，其中p₁＞p₃ ，又 $p_{1} ， \frac{1}{2} ， 2 p_{3}$ 成等比数列，且A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求p₁ ， p₃的值；

(2)、若C、D是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家．设X表示A、B、C、D能够回家过年的人数，求X的分布列和期望EX．

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19. 如图，矩形ABCD中，AB=2 $\sqrt{2}$ ，AD= $\sqrt{2}$ ，M为DC的中点，将△DAM沿AM折到△D′AM的位置，AD′⊥BM．

(1)、求证：平面D′AM⊥平面ABCM；

(2)、若E为D′B的中点，求二面角E﹣AM﹣D′的余弦值．

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20. 已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{6}$ + $\frac{y^{2}}{4}$ =1，圆C₂：x²+y²=t经过椭圆C₁的焦点．

(1)、设P为椭圆上任意一点，过点P作圆C₂的切线，切点为Q，求△POQ面积的取值范围，其中O为坐标原点；

(2)、过点M（﹣1，0）的直线l与曲线C₁ ， C₂自上而下依次交于点A，B，C，D，若|AB|=|CD|，求直线l的方程．

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21. 已知函数f（x）=ln（ax+1）﹣ax﹣lna．

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、若h（x）=ax﹣f（x），当h（x）＞0恒成立时，求a的取值范围；

(3)、若存在 $- \frac{1}{a} < x_{1} < 0$ ，x₂＞0，使得f（x₁）=f（x₂）=0，判断x₁+x₂与0的大小关系，并说明理由．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 2 c o s φ \\ y = 2 + 2 s i n φ \end{matrix}$ （φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）射线OM：θ=α（其中 $0 < a < \frac{π}{2}$ ）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON： $θ = α + \frac{π}{2}$ 与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求 $\frac{| O P |}{| O M |} \cdot \frac{| O Q |}{| O N |}$ 的最大值．

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23. 已知函数f（x）=k﹣|x﹣3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为[﹣1，1]．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且 $\frac{1}{k a} + \frac{1}{2 k b} + \frac{1}{3 k c} = 1$ ，求证： $\frac{1}{9} a + \frac{2}{9} b + \frac{3}{9} c \geq 1$ ．

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