北京市西城区2016-2017学年高一下学期期末数学考试试卷

试卷更新日期：2017-09-13 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=2a_n ，那么a₄=（）

A、24 B、18 C、16 D、12

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2. 不等式 $\frac{1}{x} \leq 2$ 的解集为（）

A、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0)$ ∪ $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$ D、[2，+∞）

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3. 执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 设直线l经过两点A（2，1），B（﹣1，3），则直线l下方的半平面（含直线l）可以用不等式表示为（）

A、2x+3y﹣7≥0 B、2x+3y﹣7≤0 C、2x+3y+1≥0 D、2x+3y+1≤0

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5. 在区间[﹣1，3]上随机取一个实数x，则x使不等式|x|≤2成立的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 如表是某校120名学生假期阅读时间（单位：小时）的频率分布表，现用分层抽样的方法从[10，15），[15，20），[20，25），[25，30）四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是（）
分组
频数
频率
[10，15）
12
0，10
[15，20）
30
a
[20，25）
m
0.40
[25，30）
n
0.25
合计
120
1.00

A、2，5，8，5 B、2，5，9，4 C、4，10，4，2 D、4，10，3，3

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7. 在△ABC中，若 $a = \sqrt{3}$ ，c=2， $c o s B = \frac{1}{3}$ ，则△ABC的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$

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8. 以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况．乙队记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以m表示．那么在3次比赛中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{9}{10}$

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9. 若关于x的不等式 $2 x + \frac{2}{x - 1} \geq a$ 对于一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，4] B、[4，+∞） C、（﹣∞，6] D、[6，+∞）

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10. 在△ABC中，角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，给出下列四个结论：
①以 $\frac{1}{a} ， \frac{1}{b} ， \frac{1}{c}$ 为边长的三角形一定存在；
②以 $\sqrt{a} ， \sqrt{b} ， \sqrt{c}$ 为边长的三角形一定存在；
③以a² ， b² ， c²为边长的三角形一定存在；
④以 $\frac{a + b}{2} ， \frac{b + c}{2} ， \frac{c + a}{2}$ 为边长的三角形一定存在．
那么，正确结论的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ 的定义域是．

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12. 在等差数列{a_n}中，a₂+a₄=5，则a₃= ．

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13. 随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm；样本数据的方差为．

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14. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq 2 x \\ x + y \leq 1 \\ y + 1 \geq 0 \end{matrix}$ ，则z=x+3y的最大值是．

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15. 有4张卡片，上面分别写有0，1，2，3．若从这4张卡片中随机取出2张组成一个两位数，则此数为偶数的概率是．

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16. 在数列{a_n}中，a₃=12，a₁₁=﹣5，且任意连续三项的和均为11，则a₂₀₁₇=；设S_n是数列{a_n}的前n项和，则使得S_n≤100成立的最大整数n= ．

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三、解答题

17. 在等差数列{a_n}中，a₁=2，a₃+a₅=16．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果a₂ ， a_m ， a_2m成等比数列，求正整数m的值．

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18. 北京是我国严重缺水的城市之一．为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），[12，14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）给出图中实数a的值；
（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中，月均用水量低于8吨的约有多少户；
（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10，12）组的概率．

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19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2， $c o s C = - \frac{1}{4}$ ．
（Ⅰ）如果b=3，求c的值；
（Ⅱ）如果 $c = 2 \sqrt{6}$ ，求sinB的值．

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20. 已知数列{a_n}的前n项和 $S_{n} = n^{2} - 4 n$ ，其中n∈N^* ．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = 2^{a_{n}} + 1$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若对于任意正整数n，都有 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} \leq λ$ ，求实数λ的最小值．

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21. 已知函数f（x）=ax²+（2a+1）x+b，其中a，b∈R．
（Ⅰ）当a=1，b=﹣4时，求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）如果函数f（x）的图象在直线y=x+2的上方，证明：b＞2；
（Ⅲ）当b=2时，解关于x的不等式f（x）＜0．

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22. 在无穷数列{a_n}中，a₁=p是正整数，且满足 $a_{n + 1} = {\begin{matrix} \frac{a_{n}}{2} ，当 a_{n} 为偶数 \\ a_{n} + 5 ，当 a_{n} 为奇数 . \end{matrix}$
（Ⅰ）当a₃=9时，给出p的值；（结论不要求证明）
（Ⅱ）设p=7，数列{a_n}的前n项和为S_n ，求S₁₅₀；
（Ⅲ）如果存在m∈N^* ，使得a_m=1，求出符合条件的p的所有值．

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分组	频数	频率
[10，15）	12	0，10
[15，20）	30	a
[20，25）	m	0.40
[25，30）	n	0.25
合计	120	1.00