中原名校2019-2020学年高三下学期理数质量考评一试卷

试卷更新日期：2020-04-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若 $i$ 为虚数单位，则复数 $z = \frac{1 + i}{1 + 2 i}$ 在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {x | 0 < \log_{4} x < 1}$ ， $B = {x | e^{x - 2} \leq 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $(1, 4)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(1, 2]$

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3. 若样本 $1 + x_{1}, 1 + x_{2}, 1 + x_{3}, \dots, 1 + x_{n}$ 的平均数是10，方差为2，则对于样本 $2 + 2 x_{1}, 2 + 2 x_{2}, 2 + 2 x_{3}, \dots, 2 + 2 x_{n}$ ，下列结论正确的是（）

A、平均数为20，方差为4 B、平均数为11，方差为4 C、平均数为21，方差为8 D、平均数为20，方差为8

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4. 已知向量 $\vec{a} = (m, 1), \vec{b} = (3, m - 2)$ ，则 $m = 3$ 是 $\vec{a} / / \vec{b}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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5. 已知角 $a$ 的终边经过点 $P (- 4 m ， 3 m) (m \neq 0)$ ，则 $2 sin a + cos a$ 的值是 $($ $)$

A、1或 $- 1$ B、 $\frac{2}{5}$ 或 $- \frac{2}{5}$ C、1或 $- \frac{2}{5}$ D、 $- 1$ 或 $\frac{2}{5}$

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6. 甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）

A、丙被录用了 B、乙被录用了 C、甲被录用了 D、无法确定谁被录用了

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7. 根据最小二乘法由一组样本点 $(x_{i} ， y_{i})$ （其中 $i = 1 ， 2 ， \dots ， 300$ ），求得的回归方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，则下列说法正确的是（）

A、至少有一个样本点落在回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 上 B、若所有样本点都在回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 上，则变量同的相关系数为1 C、对所有的解释变量 $x_{i}$ （ $i = 1 ， 2 ， \dots ， 300$ ）， $\hat{b} x_{i} + \hat{a}$ 的值一定与 $y_{i}$ 有误差 D、若回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率 $\hat{b} > 0$ ，则变量x与y正相关

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8. 已知 $x$ ， $y$ 满足条件 ${\begin{array}{l} x \geq 0 ， y \geq 0 \\ y \leq x \\ 2 x + y + k \leq 0 \end{array}$ （ $k$ 为常数），若目标函数 $z = 3 x + y$ 的最大值为9，则 $k =$ （）

A、 $- 16$ B、 $- 6$ C、 $- \frac{27}{4}$ D、 $\frac{27}{4}$

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9. 某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 $1$ ，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、 $27 π$ B、 $28 π$ C、 $29 π$ D、 $30 π$

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10. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆与双曲线的公共焦点， $P$ 是它们的一个公共点，且 $| P F_{2} | > | P F_{1} |$ ，椭圆的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线的离心率为 $e_{2}$ ，若 $| P F_{1} | = | F_{1} F_{2} |$ ，则 $\frac{3}{e_{1}} + \frac{e_{2}}{3}$ 的最小值为（）

A、 $6 + 2 \sqrt{3}$ B、 $6 + 2 \sqrt{2}$ C、8 D、6

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11. 若 $x ， a ， b$ 均为任意实数，且 ${(a + 2)}^{2} + {(b - 3)}^{2} = 1$ ，则 ${(x - a)}^{2} + {(ln x - b)}^{2}$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $18$ C、 $3 \sqrt{2} - 1$ D、 $19 - 6 \sqrt{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x} ， x < 0 \\ \frac{\ln x}{x} ， x > 0 \end{array}$ ，若函数 $F (x) = f (x) - k x$ 在 $R$ 上有3个零点，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、 $(0 ， \frac{1}{2 e})$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{2 e})$ D、 $(\frac{1}{2 e} ， \frac{1}{e})$

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二、填空题

13. 若 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是．

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14. $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $A, B, C$ 成等差数列，若 $b = \sqrt{3}$ ， $c = 1$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为．

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15. 割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为．

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16. 已知点 $A (0 ， - 1)$ 是抛物线 $x^{2} = 2 p y$ 的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且 $| P F | = m | P A |$ ，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为.

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三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1}$ ，点 $P (b_{n}, b_{n + 1})$ 在 $x - y + 2 = 0$ 上， $n \in N^{* .}$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图1，在等腰 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A C$ ， $A B$ 的中点， $F$ 为 $C D$ 的中点， $G$ 在线段 $B C$ 上，且 $B G = 3 C G$ 。将 $Δ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使点 $A$ 到 $A_{1}$ 的位置（如图2所示），且 $A_{1} F ⊥ C D$ 。

(1)、证明： $B E / /$ 平面 $A_{1} F G$ ；

(2)、求平面 $A_{1} F G$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成锐二面角的余弦值

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19. 第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：

组别	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100)$
频数	5	30	40	50	45	20	10

（参考数据： $P (μ - δ < X \leq μ + δ) \approx 0.6827$ ； $P (μ - 2 δ < X \leq μ + 2 δ) \approx 0.9545$ ； $P (μ - 3 δ < X \leq μ + 3 δ) \approx 0.9973$ .）

(1)、若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设

μ

，

σ

分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求

μ

，

σ

的值（

μ

，

σ

的值四舍五入取整数），并计算

P (51 < X < 93)

；

(2)、在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于

μ

的可以获得1次抽奖机会，得分不低于

μ

的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为

\frac{2}{3}

，抽中价值为30元的纪念品B的概率为

\frac{1}{3}

.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A$ 为椭圆上一动点（异于左右顶点）， $Δ A F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l : y = x + m$ 与椭圆 $C$ 相交于点 $A, B$ 两点，问 $y$ 轴上是否存在点 $M$ ，使得 $Δ A B M$ 是以 $M$ 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = a (x - 1) \ln x + e x (a \in R)$ .其中 $e$ 是自然对数的底数.

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若不等式 $f (x) - e^{x} \leq 0$ 对任意的 $x \in [1, + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 2 ρ cos θ - 2 = 0$ ，点 $P$ 的极坐标是 $(\frac{2 \sqrt{15}}{3}, \frac{2 π}{3})$ .

(1)、求直线 $l$ 的极坐标方程及点 $P$ 到直线 $l$ 的距离；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点，求 $Δ P M N$ 的面积.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x - 1 |$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \geq x + 8$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq | x - 5 |$ 的解集包含 $[0, 2]$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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