福建省普通2019-2020学年高中高三理数3月考试试卷

试卷更新日期：2020-04-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设复数 $z$ 满足 $z - i z = 2 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | y = \lg (1 - x)}$ ， $B = {x | y = \frac{1}{\sqrt{x}}}$ 则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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3. 已知 $\sin 2 θ = - \frac{3}{4}$ ，则 $\tan θ + \frac{1}{\tan θ} =$ （）

A、 $- \frac{8}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）

A、 $\frac{3}{14}$ B、 $\frac{11}{14}$ C、 $\frac{1}{14}$ D、 $\frac{2}{7}$

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5. 已知不同直线 $l$ 、 $m$ 与不同平面 $α$ 、 $β$ ，且 $l \subset α$ ， $m \subset β$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $α // β$ ，则 $l//m$ B、若 $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ m$ C、若 $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ α$

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a \cos B - b \cos A = \frac{c}{4}$ ，则 $\frac{a^{2} - b^{2}}{2 c^{2}} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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7. 已知 $a = \log_{2} 3$ ， $b = 2^{- 4.1}$ ， $c = {(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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8. 已知边长为4的菱形 $A B C D$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $M$ 为 $C D$ 的中点， $N$ 为平面 $A B C D$ 内一点，若 $A N = N M$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} =$ （）

A、16 B、14 C、12 D、8

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9. 已知 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x + \frac{2}{x} - 3$ ．若 $x \leq 0$ ，则 $f (x) \leq 0$ 的解集是（）

A、 $[- 2, - 1]$ B、 $(- \infty, - 2] \cup [- 1, 0]$ C、 $(- \infty, - 2] \cup [- 1, 0)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (- 1, 0]$

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10. 将函数 $f (x) = \cos x$ 的图象先向右平移 $\frac{5}{6} π$ 个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω}$ $(ω > 0)$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 上没有零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{9}] \cup [\frac{2}{3}, \frac{8}{9}]$ B、 $(0, \frac{2}{9}]$ C、 $(0, \frac{2}{9}] \cup [\frac{8}{9}, 1]$ D、 $(0, 1]$

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11. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B P$ ， $A C ⊥ P C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $P B = P C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $P$ 到底面 $A B C$ 的距离为2，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为（）

A、 $3 π$ B、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ C、 $12 π$ D、 $24 π$

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过焦点的直线与抛物线分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $S$ ，与准线 $l$ 交于点 $T$ ，且 $| F A | = 2 | A S |$ ，则 $\frac{| F B |}{| T S |} =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、2 C、 $\frac{7}{2}$ D、3

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二、填空题

13. 若变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 2 \geq 0 \\ 3 x + y \leq 0 \\ x + y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值为．

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14. 甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为 $\frac{4}{5}$ 和 $\frac{3}{4}$ ；乙笔试、面试通过的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ ．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是．

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F (- \sqrt{3}, 0)$ ， $A$ 、 $B$ 为双曲线上关于原点对称的两点， $A F$ 的中点为 $H$ ， $B F$ 的中点为 $K$ ， $H K$ 的中点为 $G$ ，若 $| H K |=2| O G |$ ，且直线 $A B$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $| A B | =$ ，双曲线的离心率为．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{(e^{x} - a x) (e^{x} - \ln x)}{\ln x - a x}$ ，若在定义域内恒有 $f (x) < 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d = 2$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(\frac{1}{2})}^{a_{n}}$ ，求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A C \cap B D = O$ ， $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $A_{1} O //$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ；

(2)、若 $A B = A A_{1}$ ，求二面角 $D_{1} - A B_{1} - A_{1}$ 的余弦值．

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19. 金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：

愿意

不愿意

男生

60

20

女士

40

40

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

$P (K^{2} \geq k_{0})$

0.05

0.01

0.001

$k_{0}$

3.841

6.635

10.828

(1)、根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；

(2)、现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为 $X$ ，写出 $X$ 的分布列，并求 $E (X)$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = a (x - \ln x) + x^{2} - 2 x$ ．

(1)、当 $a = - 2 e$ （ $e$ 为自然对数的底数）时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、 $f^{'} (x)$ 为 $y = f (x)$ 的导函数，当 $a > 0$ ， $x_{1} > x_{2} > 0$ 时，求证： $f (x_{1}) - f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) x_{1} < f (x_{2}) - f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) x_{2}$ ．

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21. 如图，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，上、下顶点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，且 $B_{1} (0 ， 1)$ ， $△ A_{1} B_{1} B_{2}$ 为等边三角形，过点 $(1 ， 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 在 $y$ 轴右侧的部分交于 $M$ 、 $N$ 两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求四边形 $B_{2} M N B_{1}$ 面积的取值范围．

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22. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + 2 \cos θ \\ y = 2 \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数），直线 l 经过点 $M (- 1, - 3 \sqrt{3})$ 且倾斜角为 α .

(1)、求曲线 C 的极坐标方程和直线 $l$ 的参数方程；

(2)、已知直线 l 与曲线 C 交于 A, B，满足 A 为 MB 的中点，求 tanα .

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23. 设函数 $f (x) = | x + 1 | + | x - 2 a | + 1$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) \leq 6$ ；

(2)、设 $a < - \frac{1}{2}$ ，且当 $2 a \leq x < - 1$ 时，不等式 $f (x) \leq 2 x + 6$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围．

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	愿意	不愿意
男生	60	20
女士	40	40

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.01	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828